dividir en cuatro

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Sea E el punto medio de AB, F el punto medio de BC, G el punto medio de CD y H el punto medio de DA. Según el enunciado:

area(EBFP) = area(FCGP) = area(GDHP) = area(HAEP) = S/4, siendo S el área del cuadrilátero ABCD.

Cada una de las áreas anteriores se puede descomponer en la suma de áreas de dos triángulos:

area(EBP) + area(BFP) = S/4
area(FCP) + area(CGP) = S/4
area(GDP) + area(DHP) = S/4
area(HAP) + area(AEP) = S/4

Por ser E el punto medio de AB será:

area(AEP) = area(EBP) = S1

De la misma forma:

area(BFP) = area(FCP) = S2
area(CGP) = area(GDP) = S3
area(DHP) = area(HAP) = S4

Se tiene entonces que:

area(EBP) + area(BFP) = S/4 = S1 + S2
area(FCP) + area(CGP) = S/4 = S2 + S3
area(GDP) + area(DHP) = S/4 = S3 + S4
area(HAP) + area(AEP) = S/4 = S1 + S4

De las ecuaciones anteriores, se desprende que S1=S3 y S2=S4. Por lo tanto, se tiene que:

area(ABP) = 2 area(AEP) = 2 S1
area(BCP) = 2 area(BFP) = 2 S2
area(CDP) = 2 area(CGP) = 2 S3 = 2 S1
area(DAP) = 2 area(DHP) = 2 S4 = 2 S2

Por otra parte:

area(ABCP) = area(ABP) + area(BCP) = 2 (S1+S2) = S/2

--> area(ABC) + area(ACP) = S/2

--> AC dist(B,AC) + AC dist(P,AC) = AC [dist(B,AC)+dist(D,AC)] / 2

--> dist(P,AC) = [dist(B,AC)+dist(D,AC)] / 2 - dist(B,AC) = [dist(D,AC) - dist(B,AC)] / 2

De forma totalmente equivalente obtendríamos:

dist(P,BD) = [dist(A,BD) - dist(C,BD)] / 2


Resolución:

1) Obtener los valores de los segmentos X := [dist(D,AC) - dist(B,AC)] / 2 e Y:= [dist(A,BD) - dist(C,BD)] / 2

2) Trazar una paralela a AC a la distancia X (acercando hacia el vértice D) y una paralela a BD a la distancia Y (acercando hacia el vértice A); ambas paralelas se cortan en el punto P buscado

[João Risueño Cruz]