Lugar geometrico

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Una vez resuelto este problema: http://www.dibujotecnico.com/foro/viewtopic.php?t=2511, podemos pasar a este otro que es bastante similar.

Dado un punto P del plano, la suma de las areas de los triángulos PAB y PCD puede expresarse como:

AB · dist(P,AB) / 2 + CD · dist(P,CD) / 2

Como el punto Q debe pertenecer al lugar geométrico, entonces también tiene que cumplir la ecuación anterior, de donde:

AB · dist(P,AB) + CD · dist(P,CD) = AB · dist(Q,AB) + CD · dist(Q,CD)

A la vista de esta ecuación, y tal y como vimos en el otro problema, el lugar geométrico del punto P es un paralelogramo, dos de cuyos vértices están situados sobre la recta soporte del segmento AB, y los otros dos sobre la recta soporte del segmento CD.

Para los dos vértices situados sobre la recta soporte de AB será dist(P,AB) = 0, de donde:

CD · dist(P,CD) = AB · dist(Q,AB) + CD · dist(Q,CD)

Si hacemos:
U^2 := AB · dist(Q,AB) [media proporcional]
V^2 := CD · dist(Q,CD) [media proporcional], y
W^2 := U^2 + V^2 [hipotenusa de triángulo rectángulo],

entonces podemos hallar dist(P,CD) resolviendo la media proporcional CD · dist(P,CD) = W^2, lo que nos permite encontrar los dos vértices del paralelogramo buscado en la intersección de la recta soporte de AB con las dos paralelas a la recta soporte de CD a la distancia hallada.

De forma análoga, se obtendrán los dos vértices situados sobre la recta soporte de CD y se trazará el paralelogramo que es el lugar geométrico pedido.

[João Risueño Cruz]

entonces podemos hallar dist(P,CD) resolviendo la media proporcional CD · dist(P,CD) = W^2


donde esta P ?

[apolonio]

De la ecuación CD · dist(P,CD) = W^2 debe obtenerse el valor de dist(P,CD), ya que tanto CD como W son valores conocidos

[João Risueño Cruz]

el problema no esta resuelto en el site italiano;
es este el paralelogramo ?

yo hiso d(Q,CD)=d(Q,C) o sea la menor distancia de Q a CD

y hiso media proporcional de dist(Q,AB) y de AB

es esto que tenia que hacer?

[apolonio]

dist(Q,CD) es la distancia desde el punto Q a la recta CD. Para hallarla, dibuja la perpendicular a CD que pasa por Q, que corta a la prolongación del segmento CD en un punto E, tal que dist(Q,CD) = |QE|.