Libro XIII proposicion XVIII de Euclides
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João Risueño Cruz
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En todos los casos, hay que imaginarse la figura que se produce al seccionar el sólido por un plano que pase por el centro de la esfera circunscrita. Esto traducirá un problema en 3D a un problema en 2D, y en definitiva se tendrá un polígono inscrito en una circunferencia de diámetro AB. Si el plano sector contiene a una arista, entonces dicha arista será uno de los lados del políngono sección.
Para el tetraedro (s4).- El plano sector pasa por una arista y corta a las otras dos caras que no concurren en la arista anterior por sus respectivas alturas. El polígono inscrito en la circunferencia de diámetro AB será un triángulo isósceles; el lado desigual es el valor de la arista s4, y los dos lados iguales son las alturas de sendos triángulos equiláteros de lado s4, es decir, los lados desiguales valen s4 · raiz(3) /2. Para resolver facilmente tomar un valor s4* arbitrario y obtener el valor h* de la altura de un triángulo equilátero de lado s4; construir el triángulo isósceles de lado desigual s4* y lados iguales h*; hallar la circunferencia circunscrita al triángulo anterior, y ajustar por semejanza para que el triángulo "encaje" en la circunferencia de diámetro AB.
Para el hexaedro o cubo (s6).- Se toma un plano sector paralelo perpendicular a dos caras opuestas del cubo y que seccione a dichas caras según sus diagonales. La sección producida rectángulo, dos de cuyos lados miden s6 y los otros dos miden como la diagonal de un cuadrado de lado s6. De nuevo, lo más sencillo es tomar un valor s6* arbitrario, dibujar el rectángulo de lados s6 y s6·raiz(2), trazar su circunferencia circunscrita y ajustar por semejanza.
Para el octadero (s8).- Se toma un plano sector que contenga a cuatro de sus aristas. La sección producida es un cuadrado de lado s8. Por lo tanto, s8 será el lado de un cuadrado de diagonal AB.
Para el dodecaedro (s12).- Se toma un plano sector perpendicular a dos caras opuestas, que seccione a estas caras según sus alturas (es decir, pasando por un vértice y el punto medio de la arista opuesta). El plano sector contiene dos aristas del dodecaedro, y secciona un total de cuatro caras a lo largo de sus diagonales. El polígono sección es un hexágono irregular con simetría central; 2 de sus lados valen s12 y los otros 4 miden lo mismo que la altura de un pentágono regular de lado s12.
Para el tetraedro (s4).- El plano sector pasa por una arista y corta a las otras dos caras que no concurren en la arista anterior por sus respectivas alturas. El polígono inscrito en la circunferencia de diámetro AB será un triángulo isósceles; el lado desigual es el valor de la arista s4, y los dos lados iguales son las alturas de sendos triángulos equiláteros de lado s4, es decir, los lados desiguales valen s4 · raiz(3) /2. Para resolver facilmente tomar un valor s4* arbitrario y obtener el valor h* de la altura de un triángulo equilátero de lado s4; construir el triángulo isósceles de lado desigual s4* y lados iguales h*; hallar la circunferencia circunscrita al triángulo anterior, y ajustar por semejanza para que el triángulo "encaje" en la circunferencia de diámetro AB.
Para el hexaedro o cubo (s6).- Se toma un plano sector paralelo perpendicular a dos caras opuestas del cubo y que seccione a dichas caras según sus diagonales. La sección producida rectángulo, dos de cuyos lados miden s6 y los otros dos miden como la diagonal de un cuadrado de lado s6. De nuevo, lo más sencillo es tomar un valor s6* arbitrario, dibujar el rectángulo de lados s6 y s6·raiz(2), trazar su circunferencia circunscrita y ajustar por semejanza.
Para el octadero (s8).- Se toma un plano sector que contenga a cuatro de sus aristas. La sección producida es un cuadrado de lado s8. Por lo tanto, s8 será el lado de un cuadrado de diagonal AB.
Para el dodecaedro (s12).- Se toma un plano sector perpendicular a dos caras opuestas, que seccione a estas caras según sus alturas (es decir, pasando por un vértice y el punto medio de la arista opuesta). El plano sector contiene dos aristas del dodecaedro, y secciona un total de cuatro caras a lo largo de sus diagonales. El polígono sección es un hexágono irregular con simetría central; 2 de sus lados valen s12 y los otros 4 miden lo mismo que la altura de un pentágono regular de lado s12.