a(sin(x))^2+bsin(x)cos(x)+c(cos(x))^2=d

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Teniendo en cuenta que:

cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x) = 2 · cos^2(x) - 1 = 1 - 2 · sen^2(x), y
sen(2x) = 2 · sen(x) · cos(x)

la ecuación dada se transforma en:

a · (1 - cos2x) / 2 + b · sen2x / 2 + c · (1 + cos2x) / 2 = d -->

--> (c - a) · cos2x + b · sen2x = 2d - a - c

Para simplificar, sea c-a = m y 2d-a-c = n. Entonces:

m · cos2x = n - b · sen2x -->

--> m^2 · cos^2(2x) = m^2 - m^2 · sen^2(2x) = n^2 + b^2 · sen^2(2x) - 2n · b · sen(2x) -->

--> (b^2 + m^2) · sen^2(2x) - 2n · b · sen(2x) = m^2 - n^2

Sea p^2 = b^2 + m^2; la ecuación anterior se reescribe como:

p · sen2x · (p · sen2x - 2n · b / p) = m^2 - n^2



Resolución:

1) Construir los segmentos m = c-a, n = 2d-a-c y q = 2n · b / p

2) Construir el segmento p como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos b y m, y un segmento r como el cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa m y cateto n

3) En una circunferencia cualquiera de centro O y radio suficientemente grande, trazar una cuerda MN de longitud q

4) En un punto T de la circunferencia trazar la tangente a la misma y llevar sobre ella y a partir de T la distancia r, obteniendo sobre la tangente un punto S

5) La circunferencia de centro O que pasa por S cortará a la prolongación de la cuerda MN en un punto P, tal que la mayor de las distancias PM o PN es el valor p · sen 2x

6) Constrúyase un triángulo rectángulo de hipotenusa p y uno de los catetos igual al máximo de PM y PN. El valor del ángulo x buscado es la mitad del ángulo opuesto al cateto anterior en el triángulo rectángulo dibujado

[João Risueño Cruz]

hipotenusa m y cateto n ?

el cateto tiene más longitud que la hipotenusa ?

[apolonio]

Bien, en ese caso se reescribe la ecuación como:

p · sen2x · (2n · b / p - p · sen2x) = n^2 - m^2

Lo cual supone que la resolución quede así:

1) Ídem.

2) ... y un segmento r como el cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa n y cateto m

3) Trazar un segmento AB de longitud q, y trazar la semicircunferencia de diámetro AB

4) Trazar una paralela a AB a la distancia r, que corta a la semicircunferencia en un punto P

5) Si Q es la proyección ortogonal de P sobre AB, entonces el valor de p · sen2x viene dado bien por la longitud de AQ o bien por la longitud de QB (2 soluciones)

6) Constrúyase un triángulo rectángulo de hipotenusa p y uno de los catetos igual a AQ (ó QB). El valor del ángulo x buscado es la mitad del ángulo opuesto al cateto anterior en el triángulo rectángulo dibujado

[João Risueño Cruz]

m = c-a < 0

el segmento m tiene longitud negativa

[apolonio]

Toma m = a - c, al trabajar siempre con m^2 no cambia el signo. Por lo tanto, el procedimiento quedará igual.

[João Risueño Cruz]

tiene que haber un error en esta resolución ya la hiso más de 500 veces y siempre resulta un angulo más pequeño

este problema es considerado de nível 2 portanto de los más sencillos

[apolonio]

Vamos a ver otra forma de reducir esta expresión aplicando fórmulas trigonométricas. Primero pasamos de una ecuación trigonométrica de segundo grado a una de primer grado (como antes) introduciendo los senos y cosenos del ángulo doble:

b · sen2x - (a-c) · cos2x = 2d - a - c

El término de la izquierda puede reescribirse como:

m · sen (2x - f) = m cos(f) sen(2x) - m sen(f) cos(2x),

lo que nos da

m^2 = b^2 + (a-c)^2,

y tan(f) = (a-c) / b

Finalmente, despejando la incógnita:

x = {f + arcsen[(2d-a-c) / m]} / 2

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Resolución:

1) Obtener m como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos b y a-c

2) En el triángulo rectángulo anterior, f es el ángulo opuesto al cateto b

3) Construir un triángulo rectángulo de cateto 2d-a-c e hipotenusa m

4) En el triángulo rectángulo que se acaba de dibujar, sumar al ángulo opuesto al cateto 2d-a-c el ángulo f y trazar la bisectriz del ángulo suma; la mitad del ángulo suma es el valor x buscado

[João Risueño Cruz]