a ma p

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Aplicando el teorema del coseno a los triángulos AMaB y AMaC se tiene:

c^2 = (a/2)^2 + ma^2 - a · ma · cos(<AMaB)
b^2 = (a/2)^2 + ma^2 - a · ma · cos(<AMaC) =
= (a/2)^2 + ma^2 + a · ma · cos(<AMaB>

--> b · c = (b+c)^2 / 2 - a^2 / 4 - ma^2 = ((2p-a)/raiz(2))^2 - (a/2)^2 - ma^2

Constrúyase b·c de la siguiente forma:

1) Sea x la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos a/2 y ma

2) Sea y el lado de un cuadrado de diagonal 2p-a

3) Sea z el cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa y y cateto x; se tiene que b·c = z^2

Sabiendo que b+c = 2p-a y b·c = z^2, los valores de b y c pueden obtenerse facilmente con una construcción de media proporcional:

1) Construir un segmento MN de longitud 2p-a

2) Trazar la semicircunferencia de diámetro MN

3) Trazar una paralela a MN a la distancia z, que cortará a la semicircunferencia anterior en un punto P

4) Obtener el punto Q que es proyección ortogonal de P sobre MN; el punto Q divide a MN en dos segmentos que son los valores de b y c, respectivamente

________________

Nota.- Este problema equivale a resolver la intersección de una elipse (de focos B y C y longitud del eje mayor 2p-a) con una circunferencia (de radio ma) con centro en el centro de la elipse.

[João Risueño Cruz]

genial