circulo ortogonal a dos circulos y tangente a una recta
Moderador: vicente
-
João Risueño Cruz
- Maestro/a
- Mensajes: 823
- Registrado: Jue Ago 02, 2007 11:01 pm
- Contactar:
Considérese la inversión positiva que transforma una de las circunferencias en la otra (el centro de inversión es el centro de semejanza externo de las circunferencias, situado sobre la recta que une los centros, en la intersección con la recta que pasa por los extremos de dos radios paralelos en una y otra circunferencias).
La inversión es una trasformación conforme (conserva ángulos); en particular la inversión conserva la ortogonalidad de las circunferencias (si una circunferencia corta ortogonalmente a otra, sus respectivas circunferencias inversas también se cortan ortogonalmente).
En el caso que estamos considerando de la inversión que transforma una circunferencia en la otra, la inversa de la circunferencia buscada seguirá siendo ortogonal a las dos dadas (el centro de la circunferencia buscada y de su inversa deben estar sobre el eje radical de las circunferencias dadas). Como los centros de la circunferencia buscada y su inversa deben estar alineados con el centro de inversión, necesariamente se concluye que la circunferencia buscada debe ser doble.
Como la inversión conserva tangencias y la circunferencia buscada es doble, al ser ésta tangente a la recta dada, también lo será a la circunferencia inversa de dicha recta.
Así pues, queda el problema reducido a un problema equivalente de tangencias, que consiste en encontrar la circunferencia que cumple:
a) Es tangente a la recta dada
b) Es tangente a la circunferencia inversa de la recta dada, en la inversión que transforma una de las circunferencias dadas en la otra
c) Tiene su centro en el eje radical de las dos circunferencias dadas (o es tangente a la recta simétrica de la dada con respecto al eje radical de las dos circunferencias).
La inversión es una trasformación conforme (conserva ángulos); en particular la inversión conserva la ortogonalidad de las circunferencias (si una circunferencia corta ortogonalmente a otra, sus respectivas circunferencias inversas también se cortan ortogonalmente).
En el caso que estamos considerando de la inversión que transforma una circunferencia en la otra, la inversa de la circunferencia buscada seguirá siendo ortogonal a las dos dadas (el centro de la circunferencia buscada y de su inversa deben estar sobre el eje radical de las circunferencias dadas). Como los centros de la circunferencia buscada y su inversa deben estar alineados con el centro de inversión, necesariamente se concluye que la circunferencia buscada debe ser doble.
Como la inversión conserva tangencias y la circunferencia buscada es doble, al ser ésta tangente a la recta dada, también lo será a la circunferencia inversa de dicha recta.
Así pues, queda el problema reducido a un problema equivalente de tangencias, que consiste en encontrar la circunferencia que cumple:
a) Es tangente a la recta dada
b) Es tangente a la circunferencia inversa de la recta dada, en la inversión que transforma una de las circunferencias dadas en la otra
c) Tiene su centro en el eje radical de las dos circunferencias dadas (o es tangente a la recta simétrica de la dada con respecto al eje radical de las dos circunferencias).