O I Ia

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

En alguna ocasión ya se ha comentado en este foro (y creo que se ha demostrado) la siguiente propiedad:

En todo triángulo, la bisectriz de un ángulo y la mediatriz del lado opuesto se cortan en un punto que pertenece a la circunferencia circunscrita.

Voy a demostrar que dicho punto es el punto medio del segmento que tiene por extremos el incentro del triángulo y el exincentro correspondiente. Para ello, ténganse en cuenta las siguientes observaciones:

- La recta IIa es la bisectriz del ángulo A.
- Los ángulos <ICIa e <IBIa son ambos rectos, ya que ambos están formados por la intersección de bisectrices de ángulos complementarios.
- De lo anterior se deduce que los puntos B, C, I e Ia son concíclicos, es decir, están todos situados en una misma circunferencia, cuyo centro es el punto medio del segmento IIa, que de ahora en adelante denominaré P.
- Puesto que B y C equidistan de O, B y C deben estar situados sobre una recta perpendicular a OP.
- De lo anterior se deduce que OP es la mediana del lado BC.
- La mediana OP corta a la bisectriz IIa en el punto P que, según el teorema enunciado al inicio, debe pertenecer a la circunferencia circunscrita.

Los pasos para resolver el problema son:

1) Traza la circunferencia circunscrita, de centro O y que pasa por P, punto medio del segmento IIa

2) El vértice A está en la intersección de la circunferencia circunscrita con la bisectriz IIa

3) Los vértices B y C están en la intersección de la circunferencia circunscrita con la circunferenca de diámetro IIa

[João Risueño Cruz]