Dibujar un triángulo ABC, inscrito en una circunferencia O dada, de modo que las rectas que contienen a los segmentos AB, BC y CA pasen respectivamente por los puntos P1, P2 y P3 dados.
Nota: P1,P2 y P3 seran puntos exteriores o interiores a la circunferencia. Evidentemente no pueden estar contenidos en ella.
He corregido el enunciado según la puntualización hecha por Vicente
Última edición por JMCartabón el Vie Abr 20, 2007 6:13 pm, editado 1 vez en total.
Entiendo que para este planteamiento, los tres puntos dados serán todos interiores, y para el caso del triángulo circunscrito a la circunferencia serán exteriores.
Entonces me vas a permitir que puntualice en el enunciado que son las rectas soporte de los lados del triángulo las que pasan por los puntos dados y no los propios lados.
Como te veo algo desesperado te voy a avanzar lo que he visto hasta el momento.
Para empezar, no faltan datos, pero podría suceder que con determinadas posiciones de los puntos no exista solución, esto significa que tenemos que partir de datos válidos.
Para el caso de que los tres puntos estuviesen dentro, el problema se resuelve mediante series circulares, pudiendo existir una o dos soluciones según sea tangente o secante el eje a la circunferencia.
He probado trabajar con los inversos de los puntos que se encuentran fuera pero de momento no he tenido éxito, seguramente porque los puntos no son los adecuados.
Si se toman tres puntos muy cercanos al centro, está claro que no tendría solución, por ello este problema requiere tres puntos válidos.
Seguiré pensando en él...
Problema resuelto.
Efectivamente este planteamiento tiene solución pero no para cualquier posición de los puntos dados.
Aquí te muestro un caso con dos soluciones:
El método aplicado es el de las series circulares partiendo de tres puntos arbitrarios 1, 2 y 3.
Si necesitas alguna aclaración no tienes más que decirlo.
Habría que investigar sobre el campo de existencia de las soluciones para poder fijar bien los datos.
Los lados del triángulo buscado han de estar contenidos en tres haces proyectivos superpuestos sobre una misma circunferencia, siendo los vértices de proyectividad los tres puntos dados.
Por otro lado, se sabe que el eje de la proyectividad es el l.g. de los puntos de intersección de los rayos homólogos. Pues bien, si un punto de este eje pertenece además a la circunferencia base, su transformado final es el mismo punto, y esta es la condición necesaria para que la figura inscrita quede cerrada y pueda formarse el triángulo.
Las soluciones posibles dependen de la posición relativa del eje de proyectividad con la circunferencia, así tendremos:
- Eje secante: 2 soluciones (caso expuesto).
- Eje tangente: 1 solución.
- Eje exterior: no hay solución.
Igualmente se resuelve este problema si los tres puntos dados están dentro de la circunferencia o si están fuera.
La mayoría de los estudiantes de Dibujo, (supongo que en otras materias sucederá lo mismo), tratan de dar el salto mortal de resolver los problemas de la Geometría sin haber visto ni por el forro un libro adecuado para la ocasión, ya veis, ni siquiera digo estudiado.
Muchos de ellos tratan de que les resolvamos un montón de problemas el día antes del examen, prueba evidente de que no se habían percatado de su dificultad hasta ese momento.
El problema que tan acertadamente ha resuelto Vicente es un clásico de la Geometría Proyectiva y lo ha resuelto porque Vicente ha estudiado y sabe de esta materia, pero eso no tiene nada que ver con la genialidad que apunta JMCartabon. Sí tiene que ver con el estudio, el trabajo y la constancia a los que, a buen seguro, les debe Vicente todos sus conocimentos y sabiduría.
Genial es un adjetivo que se usa para algo más que para referirse a un genio, no sé si Vicente lo es, es más ni siquiera me importa.
Al utilizar esta palabra, sólo pretendo agradecer el esfuerzo que ha realizado Vicente para resolver mis dudas.
Además, en Geometría hay varias formas de obtener un mismo resultado, unas más ingeniosas que otras y a mi este método me parece Genial. Sin embago tu comentario me parece impertinente e inapropiado.
Los usuarios del foro no necesitamos sermones, sino soluciones.
Según el diccionario de la Real Academia Española...
genial.
(Del lat. geniālis).
1. adj. Propio del genio o inclinación de alguien.
2. adj. Placentero, que causa deleite o alegría.
3. adj. Sobresaliente, extremado, que revela genio creador.
Por alusiones tendré que intervenir para deciros un par de cosas:
En primer lugar, que estéis tranquilos porque aquí venimos todos a aportar lo que podamos y nada más. Por cierto, estoy aprendiendo bastantes cosas de vosotros dos.
En cuanto a lo de "genio" ya me gustaría a mí serlo, aunque agradezco el piropo. El único mérito que tengo es el de poseer los libros y la experiencia justa para buscar lo que necesito en cada caso.
Aprovecho la ocasión para recomendar a los muchos foreros que por aquí aparecen a que no escatimen a la hora de invertir en libros, lo digo especialmente por aquellos que piensan seguir en una carrera técnica. Los libros son un gran soporte en la vida profesional, en cualquier momento te puede surgir el problema de trazado que menos te esperabas y podrás disponer de la documentación que necesitas.
