hola sigo estudiando y m surge otra duda. el caso prc. a ver stando el punto y la recta exterior guay m sale, si stuviera el pto y la rcta exterior pues se tomaria el pto cm cntro de inversion y la circunfrncia d invrsion cn radio PT igual a raiz de k. lueg se transforma recta r n circunfrncia se hac una tangente a r´y a la otra cirucnferncia dada y se hace la invrsa de sta recta tangente n??
xo y si el punto esta en el interior de la circunferencia dada y la recta corta a la circunferencia dada como se hace??gracias!
prc cn pto interior y recta secant
Moderador: vicente
Lo he dibujado según el método general que tú aportas y no encuentro ninguna pega por el hecho de que el punto esté en el interior de la circunferencia y la recta sea secante.
Ahí te pongo el dibujo:
Claro está que al ser el punto P interior a la circunferencia C, si consideras que C es una circunferencia doble en una inversión de centro P, entonces dicha inversión debe ser necesariamente negativa.
Para encontrar r' he trazado la perpendicular a r pasando por P, y he hallado el inverso de la intersección de esta perpendicualar con r. r' será la circunferencia que tiene por diámetro el segmento que une P con el punto inverso anterior.
Trazo las dos tangentes comunes entre r' y C (como me han salido secantes, sólo es posible trazar las dos tangentes exteriores). Si A y B son los puntos de tangencia de estas tangentes sobre la circunferencia C, sus inversos A' y B' serán los puntos de tangencia de las circunferencias solución sobre la circunferencia C. A' será la intersección de AP con la circunferencia C, y B' será la intersección de BP con la circunferencia C.
El centro de la primera circunferencia solución estará en la intersección de A'C con la mediatriz de A'P, y el centro de la otra estará en la intersección de B'C con la mediatriz de B'P.
Ahí te pongo el dibujo:
Claro está que al ser el punto P interior a la circunferencia C, si consideras que C es una circunferencia doble en una inversión de centro P, entonces dicha inversión debe ser necesariamente negativa.
Para encontrar r' he trazado la perpendicular a r pasando por P, y he hallado el inverso de la intersección de esta perpendicualar con r. r' será la circunferencia que tiene por diámetro el segmento que une P con el punto inverso anterior.
Trazo las dos tangentes comunes entre r' y C (como me han salido secantes, sólo es posible trazar las dos tangentes exteriores). Si A y B son los puntos de tangencia de estas tangentes sobre la circunferencia C, sus inversos A' y B' serán los puntos de tangencia de las circunferencias solución sobre la circunferencia C. A' será la intersección de AP con la circunferencia C, y B' será la intersección de BP con la circunferencia C.
El centro de la primera circunferencia solución estará en la intersección de A'C con la mediatriz de A'P, y el centro de la otra estará en la intersección de B'C con la mediatriz de B'P.
cierto,no ntiendo xq no m salía.Un apunte:
Para encontrar más facilmente r', si M y N son los puntos de intersección de r con la circunferencia C, puedes encontrar sus inversos M' y N' así: M' será la intersección de MP con la circunferencia C y N será la intersección de NP con la circunferencia C. Entonces, la circunferencia r' será la que pasa por M', N' y P.
Para encontrar más facilmente r', si M y N son los puntos de intersección de r con la circunferencia C, puedes encontrar sus inversos M' y N' así: M' será la intersección de MP con la circunferencia C y N será la intersección de NP con la circunferencia C. Entonces, la circunferencia r' será la que pasa por M', N' y P.
Buen apunte, porque francamente no entendí bien como obtuviste r´al principio. A ver si puede ser así: perpendicular a r pasando por P, y se halla el inverso del pto intersección por ejemplo E. Para ello se traza una recta pasando por E y que corte a la circunferencia C en un pto F(¿¿vale cualquier recta??). Como C es una circunferencia de puntos dobles se pasa por P y por F una recta para obtener F´. Se halla la circunferencia que pase por F F´y E, y donde dicha circunferencia corte a la perpendicular trazada respecto de r y que pasa por P estará E´.
MUCHAS GRACIAS!!!!
MUCHAS GRACIAS!!!!
En efecto, es más o menos así, pero no del todo.
Un método general para obtener el inverso de un punto B conociendo una pareja de puntos inversos A-A' y el centro de inversión O es dibujar una circunferencia que pase por A, A' y B. Cualquier circunferencia que contenga a una pareja de puntos inversos (como A-A') es una circunferencia doble en la inversión. Por eso, la circunferencia que pasa por A, A' y B también debe pasar por B'. B' estará justamente en la intersección de la circunferencia anterior con OB.
Por eso he comezado tomando un par de puntos inversos A-A'. Como sabemos que la circunferencia C es doble A y A' serán los extremos de una cuerda cualquiera que pase por P, que es el centro de inversión. Como luego voy a tener que hallar la mediatriz de esta cuerda para buscar el centro de una circunferencia que pase por A y A', tomé como cuerda la perpendicular a CP que pasa por P, de forma que la mediatriz sea directamente la recta CP, pero podía haber tomado cualquier otra cuerda y obtener cualquier otra pareja de puntos inversos.
Ahora, como bien sabes, el inverso de la recta r que no pasa por el centro de inversión P será una circunferencia r' que sí pasa por P. Además, la perpendicular a r trazada por P debe ser un diámetro de r' (debe pasar por el centro de r'). Dicha perpendicular cortará a la recta r en un punto E, y a la recta r' en su inverso E', de manera que PE' es un diámetro de r' (el centro de r' será el punto medio de PE').
Con todo ello sólo hay que determinar el inverso de E a partir de un par de puntos inversos tomados de la circunferencia C, por el procedimiento antes comentado, y obtener r' como la circunferencia que tiene por diámetro PE'.
No obstante, parece más sencillo emplear el procedimiento alternativo que te comenté antes, ya que los inversos de los puntos de intersección de r con la circunferencia C se determinan de forma inmediata y todo se reduce a dibujar una circunferencia que pase por tres puntos, que lo tienes que hacer de todas formas.
Un método general para obtener el inverso de un punto B conociendo una pareja de puntos inversos A-A' y el centro de inversión O es dibujar una circunferencia que pase por A, A' y B. Cualquier circunferencia que contenga a una pareja de puntos inversos (como A-A') es una circunferencia doble en la inversión. Por eso, la circunferencia que pasa por A, A' y B también debe pasar por B'. B' estará justamente en la intersección de la circunferencia anterior con OB.
Por eso he comezado tomando un par de puntos inversos A-A'. Como sabemos que la circunferencia C es doble A y A' serán los extremos de una cuerda cualquiera que pase por P, que es el centro de inversión. Como luego voy a tener que hallar la mediatriz de esta cuerda para buscar el centro de una circunferencia que pase por A y A', tomé como cuerda la perpendicular a CP que pasa por P, de forma que la mediatriz sea directamente la recta CP, pero podía haber tomado cualquier otra cuerda y obtener cualquier otra pareja de puntos inversos.
Ahora, como bien sabes, el inverso de la recta r que no pasa por el centro de inversión P será una circunferencia r' que sí pasa por P. Además, la perpendicular a r trazada por P debe ser un diámetro de r' (debe pasar por el centro de r'). Dicha perpendicular cortará a la recta r en un punto E, y a la recta r' en su inverso E', de manera que PE' es un diámetro de r' (el centro de r' será el punto medio de PE').
Con todo ello sólo hay que determinar el inverso de E a partir de un par de puntos inversos tomados de la circunferencia C, por el procedimiento antes comentado, y obtener r' como la circunferencia que tiene por diámetro PE'.
No obstante, parece más sencillo emplear el procedimiento alternativo que te comenté antes, ya que los inversos de los puntos de intersección de r con la circunferencia C se determinan de forma inmediata y todo se reduce a dibujar una circunferencia que pase por tres puntos, que lo tienes que hacer de todas formas.
MUCHAS GRACIAS Apolonio!!