Hola de nuevo.
Quería saber si alguien me podría explicar en palabras sencillas qué es exactamente potencia e inversión,su diferencia y qué aplicaciones tiene,aparte de resolver tangencias claro. Gracias a todos.
Potencia e inversión
Moderador: vicente
Potencia e inversión son dos conceptos que están bastante relacionados pero que se refieren a cosas bien distintas.
La POTENCIA es una propiedad que presenta un punto cualquiera respecto de una circunferencia cualquiera. Esta propiedad dice que al trazar cualquier recta secante a la circunferencia que pase por el punto, dicha secante cortará a la circunferencia en dos puntos de forma que el producto de la distancia del punto dado al primer punto de corte multiplicada por la distancia del punto dado al segundo punto de corte siempre toma el mismo valor, independientemente de cual sea la recta secante escogida. Se dice entonces que el punto dado tiene una potencia K respecto de la circunferencia dada, siendo K el valor del producto de distancias antes comentado.
En particular, si un punto tiene una potencia K respecto a una circunferencia dada, si se trazan las tangentes a la circunferencia desde dicho punto, la distancia del punto a los puntos de tangencia será igual a la raíz cuadrada de K
La INVERSIÓN es una transformación en el plano que se caracteriza porque, dado un punto O fijo que se denomina centro de inversión, cualquier otro punto A del plano se transformará en otro punto A' del plano del plano situado sobre la recta OA tal que el producto de la distancia OA por la distancia OA' tiene un valor constante K (denominado constante de inversión o potencia de inversión), independientemente de cuál sea el punto A escogido.
Nótese la analogía con la potencia, al aparecer en ambas definiciones el producto de la distancia de un punto fijo a otros dos puntos alineados con él. En particular, si se dibuja una circunferencia que pase por dos puntos inversos A y A', entonces la potencia de el centro de inversión respecto de esta circunferencia será igual a la constante de inversión. Esto sucederá para cualesquiera otros dos puntos de la circunferencia que estén alineados con O (por la propiedad de la potencia), que serán entonces puntos mutuamente inversos.
Como primera aplicación, ten en cuenta que al ser en una inversión OA · OA' = K, podrás reescribirlo como OA' = K · 1/OA, es decir, la inversión permite obtener una distancia que sea proporcional a la inversa de otra (inversamente proporcional), con lo que permitirá resolver ejercicios en los que aparezca algún tipo de proporcionalidad inversa.
Por ejemplo: dibujar un triángulo dadas sus tres alturas ha, hb y hc. Aquí utilizamos que el área del triángulo vendrá dada por S = a·ha/2 = b·hb/2 = c·hc/2, o lo que es lo mismo, tenemos las igualdades a·ha = b·hb = c·hc = 2S. Entonces, si tomamos un punto cualquiera del plano y con origen en él dibujamos tres segmentos de longitudes ha, hb y hc y por los puntos libres de dichos segmentos hacemos pasar una circunferencia, los tres segmentos cortarán a la circunferencia en otros 3 puntos más, cuyas distancias al punto inicial serán K·a, K·b y K·c, donde K es la potencia del punto respecto a la circunferencia dividida por 2S. El triángulo de lados K·a, K·b y K·c será semejante al que queremos dibujar, y no hay más que ajustar su tamaño trazando rectas paralelas para que las alturas coincidan con las dadas incialmente.
Otro problema de proporcionalidad inversa: dados tres segmentos A, B y C, hallar otro segmento X tal que A·B=X·(C+X). Este tipo de "ecuaciones" siempre se pueden resolver gráficamente con algún tipo de construcción de potencia o inversión. Este caso particular podría resolverse dibujando una circunferencia de diámetro C y buscando un punto que esté a una distancia X de la circunferencia. Al trazar desde este punto la secante que pasa por el centro de la circunferencia se tiene que la potencia del punto respecto de la circunferencia deberá valer X·(X+C), que sabemos que ha de ser igual a A·B. Entonces, las tangentes trazadas desde el punto a la circunferencia tendrán una longitua igual a la raíz cuadrada de A·B, es decir, a la media proporcional entre A y B. De esta forma, puede dibujarse la circunferencia de diámetro C y trazar una tangente cualquiera a la misma que tenga una longitud igual a la media proporcional entre A y B. La distancia mínima del extremo libre de dicha tangente a la circunferencia será igual al valor X buscado.
Otra propiedad importante de la inversión es que transforma rectas en circunferencias y viceversa. Esto puede ser muy útil para transformar un problema muy complicado en el que intervenga una circunferencia en otro más sencillo en el que la circunferencia se halla convertido en una recta. Una aplicación es la resolución de problemas de tangencias, que se fundamenta además en que la inversión conserva las relaciones de tangencia.
La POTENCIA es una propiedad que presenta un punto cualquiera respecto de una circunferencia cualquiera. Esta propiedad dice que al trazar cualquier recta secante a la circunferencia que pase por el punto, dicha secante cortará a la circunferencia en dos puntos de forma que el producto de la distancia del punto dado al primer punto de corte multiplicada por la distancia del punto dado al segundo punto de corte siempre toma el mismo valor, independientemente de cual sea la recta secante escogida. Se dice entonces que el punto dado tiene una potencia K respecto de la circunferencia dada, siendo K el valor del producto de distancias antes comentado.
En particular, si un punto tiene una potencia K respecto a una circunferencia dada, si se trazan las tangentes a la circunferencia desde dicho punto, la distancia del punto a los puntos de tangencia será igual a la raíz cuadrada de K
La INVERSIÓN es una transformación en el plano que se caracteriza porque, dado un punto O fijo que se denomina centro de inversión, cualquier otro punto A del plano se transformará en otro punto A' del plano del plano situado sobre la recta OA tal que el producto de la distancia OA por la distancia OA' tiene un valor constante K (denominado constante de inversión o potencia de inversión), independientemente de cuál sea el punto A escogido.
Nótese la analogía con la potencia, al aparecer en ambas definiciones el producto de la distancia de un punto fijo a otros dos puntos alineados con él. En particular, si se dibuja una circunferencia que pase por dos puntos inversos A y A', entonces la potencia de el centro de inversión respecto de esta circunferencia será igual a la constante de inversión. Esto sucederá para cualesquiera otros dos puntos de la circunferencia que estén alineados con O (por la propiedad de la potencia), que serán entonces puntos mutuamente inversos.
Como primera aplicación, ten en cuenta que al ser en una inversión OA · OA' = K, podrás reescribirlo como OA' = K · 1/OA, es decir, la inversión permite obtener una distancia que sea proporcional a la inversa de otra (inversamente proporcional), con lo que permitirá resolver ejercicios en los que aparezca algún tipo de proporcionalidad inversa.
Por ejemplo: dibujar un triángulo dadas sus tres alturas ha, hb y hc. Aquí utilizamos que el área del triángulo vendrá dada por S = a·ha/2 = b·hb/2 = c·hc/2, o lo que es lo mismo, tenemos las igualdades a·ha = b·hb = c·hc = 2S. Entonces, si tomamos un punto cualquiera del plano y con origen en él dibujamos tres segmentos de longitudes ha, hb y hc y por los puntos libres de dichos segmentos hacemos pasar una circunferencia, los tres segmentos cortarán a la circunferencia en otros 3 puntos más, cuyas distancias al punto inicial serán K·a, K·b y K·c, donde K es la potencia del punto respecto a la circunferencia dividida por 2S. El triángulo de lados K·a, K·b y K·c será semejante al que queremos dibujar, y no hay más que ajustar su tamaño trazando rectas paralelas para que las alturas coincidan con las dadas incialmente.
Otro problema de proporcionalidad inversa: dados tres segmentos A, B y C, hallar otro segmento X tal que A·B=X·(C+X). Este tipo de "ecuaciones" siempre se pueden resolver gráficamente con algún tipo de construcción de potencia o inversión. Este caso particular podría resolverse dibujando una circunferencia de diámetro C y buscando un punto que esté a una distancia X de la circunferencia. Al trazar desde este punto la secante que pasa por el centro de la circunferencia se tiene que la potencia del punto respecto de la circunferencia deberá valer X·(X+C), que sabemos que ha de ser igual a A·B. Entonces, las tangentes trazadas desde el punto a la circunferencia tendrán una longitua igual a la raíz cuadrada de A·B, es decir, a la media proporcional entre A y B. De esta forma, puede dibujarse la circunferencia de diámetro C y trazar una tangente cualquiera a la misma que tenga una longitud igual a la media proporcional entre A y B. La distancia mínima del extremo libre de dicha tangente a la circunferencia será igual al valor X buscado.
Otra propiedad importante de la inversión es que transforma rectas en circunferencias y viceversa. Esto puede ser muy útil para transformar un problema muy complicado en el que intervenga una circunferencia en otro más sencillo en el que la circunferencia se halla convertido en una recta. Una aplicación es la resolución de problemas de tangencias, que se fundamenta además en que la inversión conserva las relaciones de tangencia.