buenos dias....
necesito dibujar 6 (o 7 o 8...) circunferencias tangentes entre si y a la vez tangentes interiores o exteriores a otra dada.
empiezo dibujando un hexágono circumscrito a la circunferencia dada. trazo las diagonales y las bisectrices que forman las diagonales con los lados del hexágono. dónde interseccionan las bisectrices situo el centro de las circunferencias que buscaba..... MAL. sólo son tangentes entre si, no con la circumferencia dada.... como lo soluciono?
muchas gracias.
n circunferencias tangentes entre si
Moderador: vicente
Yo resolvería de la siguiente forma:
1) Divide la circunferencia en 6 (7, 8,...) partes iguales (es dibujar el hexáagono inscrito)
2) Traza los 6 radios que resultan de unir el centro de la circunferencia con cada una de estas divisiones. Estos 6 radios dividen al círculo en 6 sectores circulares, en cada uno de los cuales ha de estar inscrita una circunferencia. La simetría del problema garantiza que las 6 circunferencias serán del mismo tamaño y, siendo tangentes a los radios, serán tangentes también entre sí dos a dos, siendo pues las circunferencias buscadas (las que son tangentes interiores a la circunferencia dada; las tangentes exteriores las buscaremos luego de forma similar).
3) El problema se reduce a dibujar las circunferencias tangentes a dos rectas (2 radios r y s contiguos) y una circunferencia (la circunferencia dada). Este caso RRC suele resolverse cómodamente por homotecia, como se describirá a continuación.
4) Traza la bisectriz del ángulo formado por las rectas r y s (los dos radios contiguos). Esta bisectriz corta a la circunferencia en un punto T, el cual debe ser el punto de tangencia entre la circunferencia dada y la circunferencia buscada.
5) Dibuja una circunferencia auxiliar cualquiera que sea tangente a r y a s (su centro estará sobre la bisectriz), y sea P el punto de tangencia de esta circunferencia auxiliar con r. Sean M y N los puntos de corte de la bisectriz con la circunferencia auxiliar.
6) La circunferencia auxiliar y la buscada son homotética en una homotecia de centro el centro de la circunferencia dada, siendo el punto T homotético de M o de N (según se busque la circunferencia tangente interior o la tangente exterior). Para hallar el homotético de P trazaremos paralelas a PM y PN pasando por el punto T, que cortarán a la recta r en los puntos M' y N'.
7) Las perpendiculares a r por M' y N' cortarán a la bisectriz en los dos posibles centros de las circunferencias buscadas (uno para la tangente exerior y otro para la interior).
Para determinar el resto de centros traza las bisectrices del resto de radios y dibuja una circunferencia concéntrica con la dada que pase por los centros de las circunferencias tangentes antes encontrados. Esta circunferencia concéntrica cortará a las bisectrices de los radios en los centros del resto de circunferencias.
1) Divide la circunferencia en 6 (7, 8,...) partes iguales (es dibujar el hexáagono inscrito)
2) Traza los 6 radios que resultan de unir el centro de la circunferencia con cada una de estas divisiones. Estos 6 radios dividen al círculo en 6 sectores circulares, en cada uno de los cuales ha de estar inscrita una circunferencia. La simetría del problema garantiza que las 6 circunferencias serán del mismo tamaño y, siendo tangentes a los radios, serán tangentes también entre sí dos a dos, siendo pues las circunferencias buscadas (las que son tangentes interiores a la circunferencia dada; las tangentes exteriores las buscaremos luego de forma similar).
3) El problema se reduce a dibujar las circunferencias tangentes a dos rectas (2 radios r y s contiguos) y una circunferencia (la circunferencia dada). Este caso RRC suele resolverse cómodamente por homotecia, como se describirá a continuación.
4) Traza la bisectriz del ángulo formado por las rectas r y s (los dos radios contiguos). Esta bisectriz corta a la circunferencia en un punto T, el cual debe ser el punto de tangencia entre la circunferencia dada y la circunferencia buscada.
5) Dibuja una circunferencia auxiliar cualquiera que sea tangente a r y a s (su centro estará sobre la bisectriz), y sea P el punto de tangencia de esta circunferencia auxiliar con r. Sean M y N los puntos de corte de la bisectriz con la circunferencia auxiliar.
6) La circunferencia auxiliar y la buscada son homotética en una homotecia de centro el centro de la circunferencia dada, siendo el punto T homotético de M o de N (según se busque la circunferencia tangente interior o la tangente exterior). Para hallar el homotético de P trazaremos paralelas a PM y PN pasando por el punto T, que cortarán a la recta r en los puntos M' y N'.
7) Las perpendiculares a r por M' y N' cortarán a la bisectriz en los dos posibles centros de las circunferencias buscadas (uno para la tangente exerior y otro para la interior).
Para determinar el resto de centros traza las bisectrices del resto de radios y dibuja una circunferencia concéntrica con la dada que pase por los centros de las circunferencias tangentes antes encontrados. Esta circunferencia concéntrica cortará a las bisectrices de los radios en los centros del resto de circunferencias.
Hola amigos:
Creo que este ejercicio se soluciona más fácilmente por simples trazados de bisectrices y tangentes, lo cual no quiere decir que no sea válido lo dicho por Apolonio.
Dividida la circunferencia en x partes iguales y trazados los radios correspondientes, se prolongan estos fuera de la circunferencia, se traza la bisectriz de dos de ellos y se prolonga también. Seguidamente por el punto de corte de esta bisectriz con la circunferencia se traza la tangente a ella. Hasta aquí va igual que lo dicho por Apolonio.
La tangente y los dos radios tomados forman un triángulo. Las circunferencias inscrita y exinscrita a él son soluciones al problema planteado. El resto de ellas es ya fácil de resolver ¿no?
Saludos y ¡ánimo!
Creo que este ejercicio se soluciona más fácilmente por simples trazados de bisectrices y tangentes, lo cual no quiere decir que no sea válido lo dicho por Apolonio.
Dividida la circunferencia en x partes iguales y trazados los radios correspondientes, se prolongan estos fuera de la circunferencia, se traza la bisectriz de dos de ellos y se prolonga también. Seguidamente por el punto de corte de esta bisectriz con la circunferencia se traza la tangente a ella. Hasta aquí va igual que lo dicho por Apolonio.
La tangente y los dos radios tomados forman un triángulo. Las circunferencias inscrita y exinscrita a él son soluciones al problema planteado. El resto de ellas es ya fácil de resolver ¿no?
Saludos y ¡ánimo!
Claro, no había caído. Si la circunferencia buscada ha de ser tangente a la dada en el punto T (el punto de intersección de la bisectriz con la circunferencia), también será tangente a la recta tangente a la circunferencia en el punto T. Con esto, el problema se reduce a trazar las circunferencias tangentes a 3 rectas, que son las circunferencias inscrita y exinscritas al triángulo formado por las 3 rectas.