me plantean este prblema por inversion
como se podria plantear
recta y circunferencia
Moderador: vicente
recta y circunferencia
Última edición por Manoli el Lun Feb 11, 2013 10:00 am, editado 2 veces en total.
Si dos elementos no son secantes, sus inversos tampoco lo van a ser, así que por este aspecto no hay que preocuparse. Por lo tanto lo único que queremos es transformar una circunferencia en otra y una recta también en una circunferencia. Para ello simplemente se ha de cumplir que:
1) La circunferencia dada
puede pasar por el centro de inversión, pues de lo contrario su inverso sería una recta en lugar de otra circunferencia.
2) La circunferencia inversa de la recta dada DEBE pasar necesariamente por el centro de inversión, si no su ínverso no sería una recta.
Entonces puedes elegir como centro de inversión cualquier punto que no pertenezca ni a la circunferencia ni a la recta que te dan. La potencia o constante de inversión también puede ser cualquiera; para simplificar las cosas puedes decidir que la circunferencia dada sea doble (es decir, inversa de sí misma).
1) La circunferencia dada
puede pasar por el centro de inversión, pues de lo contrario su inverso sería una recta en lugar de otra circunferencia.2) La circunferencia inversa de la recta dada DEBE pasar necesariamente por el centro de inversión, si no su ínverso no sería una recta.
Entonces puedes elegir como centro de inversión cualquier punto que no pertenezca ni a la circunferencia ni a la recta que te dan. La potencia o constante de inversión también puede ser cualquiera; para simplificar las cosas puedes decidir que la circunferencia dada sea doble (es decir, inversa de sí misma).
gracias y perdón pues me he equivocado al escribir el enunciado. El enuciado correcto era [color= blue]transformar por inversion una recta y un circulo en 2 circulos [/color]
Última edición por Manoli el Mié Abr 09, 2008 11:58 am, editado 1 vez en total.
Eso complica mucho el problema. Lo único que he podido determninar hasta ahora es lo siguiente:
El centro común de las dos circunferencias inversas debe estar situado:
a) En la perpendicular a la recta que pasa por el punto de inversión (por ser centro de la circunferencia inversa a la recta), y
b) En la recta que une el centro de inversión con el centro de la circunferencia dada (por ser el centro de la circunferencia inversa a la dada)
Por lo tanto la recta que une el centro de inversión con el centro común de las dos circunferencias inversas no puede ser otra que la perpendicular a la recta dada que pasa por el centro de la circunferencia dada. Se traza esta perpendicular y se sabe que sobre ella va a estar tanto el centro de inversión como el centro común de las dos circunferencias.
El centro común de las dos circunferencias inversas debe estar situado:
a) En la perpendicular a la recta que pasa por el punto de inversión (por ser centro de la circunferencia inversa a la recta), y
b) En la recta que une el centro de inversión con el centro de la circunferencia dada (por ser el centro de la circunferencia inversa a la dada)
Por lo tanto la recta que une el centro de inversión con el centro común de las dos circunferencias inversas no puede ser otra que la perpendicular a la recta dada que pasa por el centro de la circunferencia dada. Se traza esta perpendicular y se sabe que sobre ella va a estar tanto el centro de inversión como el centro común de las dos circunferencias.
Investigando un poco por ahí, he encontrado una forma muy bonita de resolver el problema que se basa en la idea de ortogonalidad.
Considérense un par de circunferencias c1 y c2 que corten ortogonalmente a la circunferencia c dada y a la recta r (para cortar ortogonalmente a r tendrán que tener su centro en r; entonces, se toman arbitrariamente los puntos c1 y c2 sobre r y desde ellos se trazan las tangentes a c; las circunferencias ortogonales serán las que tengan centros en c1 y c2 y pasen por los puntos de tangencia). Ambas circunferencias c1 y c2 se cortarán en los puntos P y Q (con P en el exterior de c y Q en su interior).
Si tomamos ahora una inversión cualquiera de centro P, las circunferencias c1 y c2, al pasar por P, se transformarán por inversión en dos rectas c1' y c2' que se cortarán en Q', el punto inverso de Q. Por su parte, el inverso de la circunferencia c será otra circunferencia c', y el inverso de la recta r será una circunferencia r' que pasa por P.
Las dos rectas c1' y c2' han de cortar ortogonalmente tanto a c' como a r', puesto que la inversión conserva ángulos. Por lo tanto c1' y c2' son diámetros de c' y de r'. Q' es el punto de corte de los diámetros c1' y c2', con lo que será el centro de las circunferencias c' y r'.
Conclusión: Cualquier circunferencia que corte ortogonalmente a la recta r y a la circunferencia c dadas va a pasar por dos puntos fijos que se denominan puntos mágicos o puntos de Apolonio. Cualquier inversión con centro en uno de los puntos mágicos va a transformar a la circunferencia y recta dadas en dos circunferencias concéntricas.
Considérense un par de circunferencias c1 y c2 que corten ortogonalmente a la circunferencia c dada y a la recta r (para cortar ortogonalmente a r tendrán que tener su centro en r; entonces, se toman arbitrariamente los puntos c1 y c2 sobre r y desde ellos se trazan las tangentes a c; las circunferencias ortogonales serán las que tengan centros en c1 y c2 y pasen por los puntos de tangencia). Ambas circunferencias c1 y c2 se cortarán en los puntos P y Q (con P en el exterior de c y Q en su interior).
Si tomamos ahora una inversión cualquiera de centro P, las circunferencias c1 y c2, al pasar por P, se transformarán por inversión en dos rectas c1' y c2' que se cortarán en Q', el punto inverso de Q. Por su parte, el inverso de la circunferencia c será otra circunferencia c', y el inverso de la recta r será una circunferencia r' que pasa por P.
Las dos rectas c1' y c2' han de cortar ortogonalmente tanto a c' como a r', puesto que la inversión conserva ángulos. Por lo tanto c1' y c2' son diámetros de c' y de r'. Q' es el punto de corte de los diámetros c1' y c2', con lo que será el centro de las circunferencias c' y r'.
Conclusión: Cualquier circunferencia que corte ortogonalmente a la recta r y a la circunferencia c dadas va a pasar por dos puntos fijos que se denominan puntos mágicos o puntos de Apolonio. Cualquier inversión con centro en uno de los puntos mágicos va a transformar a la circunferencia y recta dadas en dos circunferencias concéntricas.