Asi ya lo hice

Cuestiones relativas a los trazados en el plano

Moderador: vicente

Troodon
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Mensaje por Troodon »

Lo que se me ocurre es buscar una circunferencia que tenga su centro sobre la recta y sea ortogonal a la circunferencia dada. El centro de dicha circunferencia será el centro radical de la circunferencia dada, la recta y la circunferencia solución. Si a alguien le interesan los detalles de esta resolución, que lo diga y la explico.
Aquí olvidé escribir un detallae muy importante: la circunferencia que hay que buscar pasa además por el punto de tangencia conocido. Eso pasa porque en esa la resolución, la determinación del centro radical pasa por hallar una circunferencia común a los haces de circunferencias corradicales conjugados de los dos haces parabólicos que determina la circunferencia solución con cada uno de los puntos de tangencia, que a su vez también son parabólicos.

Por otra parte, Vicente, discrepo de tu afirmación sobre la resolución mediante inversión, pues es exáctamente igual en cuanto a trazado que la solución mediante homotecia y únicamente la carga conceptual es un poco mayor.

chicatekila, de nada. Si tienes curiosidad por la inversión, no dudes en preguntar, pues es una transformación muy útil en multitud de casos, especialmente cuando de tangencias se trata.
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vicente
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Mensaje por vicente »

Estimado Troodon:
La resolución por INVERSIÓN es diferente tanto en el enfoque como gráficamente, como puedes ver en la siguiente imagen:
He suprimido algunos trazados auxiliares para simplificar el dibujo, pero creo que he dejado las líneas necesarias para interpretarlo.
Si sigues discrepando, lo dices y entraremos en detalles.
Adjuntos
Piezatangencia2inv.gif
Piezatangencia2inv.gif (3.32 KiB) Visto 6420 veces
Troodon
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Mensaje por Troodon »

Vicente, coincido únicamente en que el enfoque mediante potencia es diferente al enfoque mediante homotecia, como también lo son, evidentemente, algunos conceptos a aplicar.

Si bien tu resolución es perfectamente válida, en ella se ve la complicación que deriva al intentar considerar como centro de inversión el punto de tangencia conocido, que nos lleva a hallar la circunferencia de autoinversión para a su vez hallar los puntos dobles de la solución buscada.

Pero, ¿por qué no considerar simplemente la circunferencia dada como inversa de la recta dada? Cada una de las dos posibles soluciones pertenecen a cada una de las dos posibles inversiones que se pueden establecer entre los elementos mencionados, una positiva y la otra negativa. El centro de inversión en ambos casos está sobre la circunferencia dada y una vez determinado, sólo queda hallar el inverso del punto de tangencia conocido, pues la circunferencia solución buscada es "doble" en la inversión al pasar por un punto y su inverso. Resulta pues un trazado idéntico a la resolución mediante homotecia.

Por lo tanto, no sólo mantengo mi afirmación, sino, una vez expuesta su fundamentación, la reafirmo :-).
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dibutecni
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Resolucion por potencia

Mensaje por dibutecni »

Me parece que el ejercicio se tenia que resolver con potencias ya que aun no se habian visto los temas de inversion ni dilatacion de radios.

Lo he planteado usando una potencia.
El primer paso es trazar una perpendicular desde el punto P con la recta tangente de la circunferencia exterior. Luego una circunferencia auxiliar que pase por el punto P y corte a la circunferencia mayor
Despues se haya la pontencia y desde ese punto se traza una tantente a la circunferencia mayor.
Desde el punto nuevo de tangencia se prolonga hasta que corte con la perperdicular anterior y nos da el centro.

http://download.elotrolado.net:81/adjun ... ntecia.jpg
Troodon
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Mensaje por Troodon »

dibutecni, no soy capaz de ver una fundamentación correcta esta última resolución que propones.

Para la resolución mediante potencia es necesario encontrar el centro radical que determinan los dos haces parabólicos presentes en este problema.

El primer haz tiene por punto límite (al que también podríamos llamar fundamental) al punto conocido P y por eje radical la recta conocida. El seguno tiene por punto límite el punto de tangencia entre la circunferencia conocida y la circunferencia solución que buscamos, y por eje radical, la recta tangente a ambas.

El centro radical también viene determinado por un tercer haz, que es hiperbólico y que a su vez es determinado por la circunferencia conocida y la recta conocida, pero su eje radical, la recta conocida, coincide con el eje radical del "primer" haz parabólico cuyo punto límite es conocido.

Por lo tanto, por una parte hay una duplicidad de datos, y por otra, una falta, ya que precisamente lo que estamos buscando el es punto límite del "segundo" haz parabólico. Todo esto impide hallar de una forma sencilla el centro radical (la más sencilla que se me ha ocurrido, como ya he mencionado, pasa por hallar una circunferencia que pertenezca simultáneamente a los dos haces conjugados de los haces parabólicos).

Con la resolución que propones, es decir, hallando un eje radical del haz que determinan una circunferencia cualquiera perteneciente al "primer" haz parabólico y la circunferencia conocida, para cada circunferencia auxiliar se obtendrá un centro radical diferente, a distinta distancia del punto conocido P, y por lo tanto, infinitos posibles puntos de tangencia entre las dos circunferencias, cuando sólo hay dos posibilidades válidas.

Agradecería me corrigieses si me equivoco, y en tal caso, explicases los fundamentos de la resolucion en cuestión.
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vicente
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Mensaje por vicente »

Bueno, aunque el mensaje de Dibutecni llegó después le voy a contestar primero:
Inicialmente lo intenté buscando el centro radical (método de potencia) pero se sale del formato bastante lejos, por eso utilicé el método general descrito por Troodon.

Estoy de acuerdo contigo, Troodon, en que el trazado por Homotecia pueda diferir en pocas líneas en este caso de un trazado por inversión (ya sea positiva o negativa) pero es evidente, y a la vista está, que no son iguales, y si no llego a omitir ninguna de las líneas auxiliares que conlleva el método de Inversión aún sería más acusada la diferencia.
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Mensaje por Troodon »

vicente escribió:Estoy de acuerdo contigo, Troodon, en que el trazado por Homotecia pueda diferir en pocas líneas en este caso de un trazado por inversión (ya sea positiva o negativa) pero es evidente, y a la vista está, que no son iguales, y si no llego a omitir ninguna de las líneas auxiliares que conlleva el método de Inversión aún sería más acusada la diferencia.
Pero Vicente, con el método mediante inversión que propongo yo y que he explicado arriba, diferente del tuyo (y si me lo permites, más sencillo), el trazado (que no los conceptos, aunque en eso estamos de acuerdo) sí que es idéntico a la resolución mediante homotecia.
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Mensaje por vicente »

Esto se anima y nos cruzamos los mensajes...
Troodon, el centro radical se localiza muy fácilmente pero se sale del formato casi 30 cm. Pienso que si el problema lo plantearon para aplicar exclusivamente el método de potencia, tenían que haber preparado los datos para ello.
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Mensaje por Troodon »

vicente escribió:Esto se anima y nos cruzamos los mensajes...
Troodon, el centro radical se localiza muy fácilmente pero se sale del formato casi 30 cm. Pienso que si el problema lo plantearon para aplicar exclusivamente el método de potencia, tenían que haber preparado los datos para ello.
Hombre, en ninguno de mis planteamientos he tenido en cuenta el espacio que ocupa este caso concreto, sino que he considerado, como creo que es aconsejable, casos generales. Aunque sí que es cierto que generalmente cuando la resolución se sale del espacio disponible es que o vamos por mal camino, o no vamos por el mejor camino, o no es el camino que de nosotros se espera.
¿Podrías indicarme, por favor, cómo localizar "muy fácilmente" el centro radical? Te lo agradecería, pues así podré descubrir en qué han fallado mis razonamientos del mensaje de respuesta a dibutecni.
Última edición por Troodon el Sab Dic 10, 2005 11:51 pm, editado 2 veces en total.
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dibutecni
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Mensaje por dibutecni »

¿Mi solucion es valida?

Es mi primer año de profesor de 2º de bachillerato y tengo pensado poner este ejercicio en un examene pero para resolverse con inversion.

El metodo de resolucion por potencia seria valido? Si hago la circunferencia axiliar que pase por P nos da el punto de pontencia correcto. Lo hice por inversion con autocad primero y luego comprobe que el punto de tangencia que da es el mismo que por inversion que por potencia
vicente
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Mensaje por vicente »

Veamos:
1º) Por P trazas una recta perpendicular a la recta r (la tangente por T1) que llamaremos m.
2º) Traza una circunferencia arbitraria con centro en la recta m y que se corte con la 2ª circunferencia.
3º) traza el eje radical de estas dos circunferencias y lo prolongas hasta que se corte con la recta. ese punto de encuentro es el centro radical (considerada la recta dada como circunferencia de radio infinito).
4º) la tangente trazada desde este centro radical a la 2ª circunferencia localiza el punto de tangencia T2.
5º) El resto ya resulta sencillo...

Este trazado lo hice con Autocad y se iba bastante lejos, por eso lo descarté. Por supuesto que conceptualmente es correcto pero coincido contigo que cuando un trazado se sale del formato hay que sospechar en que no estamos aplicando el método buscado por el profesor.

Veo que estamos muy entusiasmados con este tema pero estoy algo cansado y continuaré mañana.
¡Buenas noches!
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Mensaje por dibutecni »

2º) Traza una circunferencia arbitraria con centro en la recta m y que se corte con la 2ª circunferencia.

Arbitraria con centro en la recta M pero que tenga un punto de tangencia en P para que asi tenga la misma potencia.
Troodon
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Mensaje por Troodon »

Tras pensarlo un poco más, veo que he metido la pata hasta el fondo al "meterme" con la resolución de dibutecni, que sí es válida.

Concretamente, ha sido al pensar que el centro radical no estaba determinado y con cada circunferencia del haz parabólico se obtenía uno nuevo, lo que es una burrada. Así que debo pedir disculpas a dibutecni :oops: y agradecerle tanto a él como a Vicente que me hayan ayudado a ver mi error.

Eso sí, sigo manteniendo lo dicho respecto a la inversión. :D
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Mensaje por dibutecni »

No hay nada que disculpar hombre :) si aqui venimos todos a aprender yo el primero que soy novato en el tema y estoy aprendiendo mucho.
vicente
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Mensaje por vicente »

Lo mismo digo y ojalá lleguemos a este nivel de debate en muchos más temas.
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