<A ta BC

[João Risueño Cruz]

ya hiso el arco capaz de  con respecto a BC pero no veo donde queda el punto A en el arco capaz

[João Risueño Cruz]

a este problema se aplica neusis
como se aplica neusis aquí ?

neusis es triseccion de un angulo

[apolonio]

No sé qué aplicación puede tener la trisección de un ángulo para resolver este problema. No obstante, he dado con un método que sí nos permite resolverlo.

Supongo que ya sabrás que el punto en que la bisectriz de un ángulo corta a la mediatriz del lado opuesto es un punto de la circunferencia circunscrita. Llamemos Wa al punto de corte de la bisectriz ta con la mediatriz ma.

Si comenzamos dibujando el lado BC y trazamos el arco capaz del ángulo <A con respecto a dicho segmento, este arco capaz (completado) será la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. La mediatriz ma del lado BC cortará a la circunferencia circunscirta en el punto Wa antes definido.

Ahora, si tomamos un punto A* arbitrario sobre la circunferencia circunscrita, entonces necesariamente la recta A*Wa es la bisectriz del ángulo <BA*C. Dicha bisectriz cortará al lado BC en un punto Ta*.

Considérese la inversión de centro Wa, con B y C puntos dobles (la circunferencia de inversión pasa por ellos). El elemento inverso del lado BC debe ser una circunferencia que pase por el centro de inversión (Wa) y por B y C (ya que son puntos dobles). Por lo tanto, la circunferencia circunscrita es inversa del lado BC en la inversión antes definida.

Teniendo en cuenta las propiedades de la inversión, el producto |WaTa*| · |WaA*| debe ser constante cualquiera que sea el punto A* elegido. En particular, si tomamos un punto A1 arbitrario sobre la circunferencia circunscrita, deberá ser:

|WaTa1| · |WaA1| = |WaTa| · |WaA| = K^2 (K la media proporcional entre |WaTa1| y |WaA1|).

Por otra parte, sabemos que:

|WaA| - |WaTa| = |TaA| = ta (conocido)

Juntando ambas ecuaciones:

|WaA| · (|WaA| - ta) = K^2,

lo que permite resolver |WaA| mediante una sencilla construcción de media proporcional (con una circunferencia de diámetro ta,...) y, en consecuencia, el triángulo ABC.

[João Risueño Cruz]

lo que permite resolver |WaA| mediante una sencilla construcción de media proporcional


entre que segmentos ?

[apolonio]

Ya hemos comentado muchas veces como resolver gráficamente las ecuaciones del tipo x · (a - x) = b^2, con a y b segmentos conocidos. El teorema de la altura de los triángulos rectángulos dice que "En todo triángulo rectángulo la altura es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. En el caso genérico planteado, la altura del triángulo sería b, y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa valdrían x y a-x, respectivamente. La longitud de la hipotenusa es la suma de las proyecciones de los catetos, es decir, a. Se trata, por tanto, de dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa a y altura b. Esto es muy sencillo: 1) Se dibuja un segmento MN de longitud a; 2) Se traza una semicircunferencia de diámetro MN; 3) Se traza una paralela a MN a la distancia B, que corta a la semicircunferencia anterior en un punto P; 4) Se traza la perpendicular a MN por P, que corta a MN en un punto X; 5) El valor del segmento x buscado será bien la longitud del segmento MX o bien la longitud del segmento XN.

[João Risueño Cruz]

Se dibuja un segmento MN de longitud a

donde está la longitud "a" ?

[apolonio]

Puse "a" y "b" para referirme a valores de segmentos genéricos en una ecuación del tipo x · (a - x) = b^2. Como ves, en este caso concreto hay que sustituir "a" por ta, "b" por K, y la incógnita "x" por |WaA|.

[João Risueño Cruz]

pero WaA > ta

como se puede determinar WaA en el segmento ta ?

[apolonio]

Ah, perdona entonces. Lo que sucede es que no tenemos una ecuación del tipo x · (a-x) = b^2 como yo decía, sino una ecuación del tipo x · (x-a) = b^2. Esta ecuación puede resolverse con una construcción de potencia, pero voy a explicarte como hacerlo mediante el teorema de pitágoras:

Tenemos x · (x-a) = x^2 - ax = (x-a/2)^2 - (a/2)^2 = b^2

--> x es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos a/2 y b, sumando luego a/2 a la hipotenusa

[João Risueño Cruz]

genial