lo unico que tengo es la interseccion de recta con elipse ¿con eso me puedo arreglar o son casos totalmente diferentes para cada una?
graciasss!!
interseccion recta-hiperbola y recta-parabola
Moderador: vicente
interseccion recta-hiperbola y recta-parabola
necesito una explicacion de como se hacen porque no lo encuentro por ningun lado
lo unico que tengo es la interseccion de recta con elipse ¿con eso me puedo arreglar o son casos totalmente diferentes para cada una?
graciasss!!
lo unico que tengo es la interseccion de recta con elipse ¿con eso me puedo arreglar o son casos totalmente diferentes para cada una?
graciasss!!
La intersección de una recta con una cónica puede resolverse de la misma forma, independientemente del tipo de cónica en cuestión. No sé qué construcción utilizarás para resolver la intersección de recta con elipse (pues puede hacerse de varias formas), pero el método que te voy a contar es válido (con las respectivas matizaciones) para cualquier cónica. Se basa en que una de las definiciones de cónica es "el lugar geométrico de todos los puntos del plano que son centro de una circunferencia que pasa por uno de los focos de la cónica y es tangente a la circunferencia focal del otro foco". (Hay que aclarar que la parábola tiene uno de sus focos en el infinito, pero puede aplicarse la definición anterior teniendo en cuenta que la circunferencia focal del foco del infinito es la directriz de la parábola).
Teniendo en cuenta la definición anterior, el punto de intersección recta-cónica será el centro de una circunferencia tal que: (1) pasa por un foco F de la cónica, (2) es tangente a la circunferencia focal del otro foco F' y (3) tiene su centro sobre la recta dada o, lo que es lo mismo, pasa por el simétrico del foco F con respecto a la recta. Así, el problema de intersección cónica-recta queda transformado en un problema de tangencias punto-punto-circunferencia (PPC).
Este caso de tangencias PPC es facil de resolver aplicando el concepto de potencia de un punto respecto a una circunferencia. Sin extenderme mucho en explicar cómo resolver este caso de tangencias te diré que si llamamos F" al simétrico del foco F respecto a la recta r dada y dibujamos una circunferencia auxiliar O' que pase por F y F" (el centro O' será por tanto un punto de la recta r), cualquier punto de la recta FF" tendrá la misma potencia respecto a O' que respecto a la circunferencia O buscada (FF" es el eje radical de las circunferencias O' y O). Además, si O' corta a la circunferencia focal de F' en los puntos M y N, MN será el eje radical de O' y la circunferencia focal, y el punto P de interseción de MN con FF" será el centro radical de O, O' y la circunferencia focal. Los puntos de tangencia de las rectas trazadas desde P (centro radical) a la circunferencia focal serán también los puntos de tangencia de la circunferencia O buscada con dicha circunferencia focal). Las rectas que unen el foco F' con dichos puntos de tangencia deben cortar a la recta r en los dos puntos de intersección recta-cónica.
En el caso de la parábola, la circuferencia buscada pasa por el foco F, por el simétrico del foco respecto a la recta dada F" y es tangente a la directriz. En este caso es un caso de tangencias PPR, que también se resuelve con facilidad
Teniendo en cuenta la definición anterior, el punto de intersección recta-cónica será el centro de una circunferencia tal que: (1) pasa por un foco F de la cónica, (2) es tangente a la circunferencia focal del otro foco F' y (3) tiene su centro sobre la recta dada o, lo que es lo mismo, pasa por el simétrico del foco F con respecto a la recta. Así, el problema de intersección cónica-recta queda transformado en un problema de tangencias punto-punto-circunferencia (PPC).
Este caso de tangencias PPC es facil de resolver aplicando el concepto de potencia de un punto respecto a una circunferencia. Sin extenderme mucho en explicar cómo resolver este caso de tangencias te diré que si llamamos F" al simétrico del foco F respecto a la recta r dada y dibujamos una circunferencia auxiliar O' que pase por F y F" (el centro O' será por tanto un punto de la recta r), cualquier punto de la recta FF" tendrá la misma potencia respecto a O' que respecto a la circunferencia O buscada (FF" es el eje radical de las circunferencias O' y O). Además, si O' corta a la circunferencia focal de F' en los puntos M y N, MN será el eje radical de O' y la circunferencia focal, y el punto P de interseción de MN con FF" será el centro radical de O, O' y la circunferencia focal. Los puntos de tangencia de las rectas trazadas desde P (centro radical) a la circunferencia focal serán también los puntos de tangencia de la circunferencia O buscada con dicha circunferencia focal). Las rectas que unen el foco F' con dichos puntos de tangencia deben cortar a la recta r en los dos puntos de intersección recta-cónica.
En el caso de la parábola, la circuferencia buscada pasa por el foco F, por el simétrico del foco respecto a la recta dada F" y es tangente a la directriz. En este caso es un caso de tangencias PPR, que también se resuelve con facilidad