interseccion de una recta con una hiperbola equilatera

[João Risueño Cruz]

como se resuelve este problema ?

Muchas gracias

João Ricardo

[apolonio]

El ejercicio se resuelve en dos partes: primero hay que encontrar los puntos notables de la hipérbola (vértices, focos), y luego hay que resolver la intersección.


== Primera parte ==

Utilizo la siguiente propiedad: el producto de las distancias de un punto cualquiera de una hipérbola equilátera a una y otra asíntota es constante (nótese que si consideramos las asíntotas como ejes de un sistema de coordenadas, la hipérbola tendrá ecuación y = K/x ó x · y = K).

En particular, el vértice de la hipérbola equidista de ambas asíntotas, luego la distancia del vértice a una asíntota será media proporcional entre las distancias del punto P a una y otra asíntota. La distancia del vértice al origen será raíz cuadrada de dos veces su distancia a la asíntota (diagonal de un cuadrado), por lo que en la figura he hallado la distancia del vértice al centro de la hipérbola como la media proporcional entre la distancia de P a una de las asíntotas y el doble de la distancia de P a la otra asíntota (todo esto está dibujado en marrón)

Se obtiene así la posición de los dos vértices V y V' y la de los dos focos F y F', teniendo en cuenta que para la hipérbola equiátera OF = raíz cuadrada de 2 · OV (diagonal de un cuadrado de lado OF).


== Segunda parte ==

Cualquier punto de una hipérbola es el centro de una circunferencia que pasa por uno de los focos y es tangente interior a la circunferencia focal del otro foco. Esto se cumple en particular para los puntos de intersección de la recta AB con la hipérbola.

Por lo tanto, los puntos de intersección buscados serán los centros de la circunferencia que son tangentes interiores a la circunferencia focal de F y que pasan por F' y por el simétrico de éste respecto a la recta AB (todos estos elementos dibujados en rojo).

La simetría del problema obliga a que los puntos de tangencia buscados sobre la circunferencia focal sean T1 y T2, lo que inmediatamente nos lleva a las soluciones O1 y O2 sin más que trazar las mediatrices de T1F' y T2F', respectivamente.

[João Risueño Cruz]

hiso la media proporcionalidad, arriba, con doble de altura del punto P y con la longitude del punto P. Me parece correcto (?)

el problema de los puntos que deberian ser H y K y quedaron un poquito mas arriba en AB puede ser que estoy a hacer T1 y T2 con la interseccion de la recta AB con la circunferencia de centro F y radio FF' (F' simetrico de F en relacion a AB) ?

cual es el error ?

Muchas Gracias

[João Risueño Cruz]

hiso tambien OF la diagonal del quadrado OV ! sera aquí el error?