Hola a todos, me gusta mucho la página. Estoy en mi primer año de Dibujo Técnico y me han mandado 8 ejercicios, pero no se hacer el último , salió en la Selectividad de Madrid en 1998 (Creo), y el enunciado dice lo siguiente:
JUNIO 1998
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1A. Dibujar un triángulo isósceles de perímetro 10 cm y en el que la base es el segmento áureo de uno de los lados laterales.
y es que no entiendo el concepto del segmento áureo.
Se dice que un segmento es parte áurea (o segmento áureo) de otro segmento mayor cuando es media proporcional entre el segmento grande y el segmento que resulta de restar al segmento grande el propio segmento áureo. En otras palabras, si L es la longitud del segmento grande, la longitud de su segmento áureo tendrá un valor x tal que:
Como ves, la razón entre un segmento y su parte áurea tiene siempre el mismo valor, que se denomina proporción áurea o número áureo y se designa por la letra griega phi (phi es el inverso del cociente anterior, es decir, phi = (5^(1/2) + 1) /2).
La proporción áurea aparece constantemente en la Naturaleza y en algunas formas geométricas (por ejemplo, el lado del un pentágono regular es la parte áurea de su diagonal). Buscando "segmento áureo" en google puedes encontrar numerosa información sobre la razón áurea.
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Para determinar la parte áurea de un segmento PQ:
1) Levanta una perpendicular a PQ por el punto Q
2) Con centro en Q traza un arco de radio igual a la mitad de la medida del segmento PQ, que cortará a la perpendicular anterior en el punto A
3) Con centro en A traza un arco que pase por Q, que cortará al segmento AP en el punto B
4) Con centro en P traza un arco que pase por B, que cortará al segmento PQ en un punto R, tal que el segmento PR es la parte áurea del segmento PQ
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Ahora, al problema que se planteó en selectividad. Para empezar, sabemos que todos los triángulos isósceles tales que la base es parte áurea de los lados iguales serán semejantes entre sí, puesto que si tomamos dos de estos triángulos con longitudes de base x e y, respectivamente, sus lados iguales medirán phi · x y phi · y, respectivamente; en cualquier caso, el cociente entre cualesquiera dos lados correspondientes de dichos triángulos será x/y, lo que demuestra que los triángulos son semejantes.
Esto nos sugiere proceder de la siguiente forma:
a) Trazamos un segmento cualquiera y hallamos su parte áurea (por el procedimiento antes comentado)
b) Dibujamos un triángulo isósceles cuya base sea la parte áurea antes hallada y los lados iguales sean el segmento de partida del paso anterior. Sea ABC este triángulo, con AB la base y C el vértice opuesto.
c) Con centro en A se traza un arco de radio AC que cortará a la prolongación de la base AB en el punto P (P más próximo a A que a B)
d) Hállese O, punto medio de la base AB. Nótese que la distancia OP es la mitad del perímetro del triángulo.
e) Con centro en O trácese un arco de radio 5cm (la mitad del perímetro del triángulo que queremos dibujar), que cortará a la prolongación de la base AB en un punto P' (P' más próximo a A que a B)
f) Traza una paralela a CP que pase por P', que cortará a la recta OC o a su prolongación en C'.
g) Traza paralelas a AC y BC pasando por C', que cortarán a la base AB o a su prolongación en los puntos A' y B', respectivamente, tales que A'B'C' es el triángulo isósceles buscado (A'B'C' es semejante a ABC por ser todos sus lados paralelos y su perímetro es de 10cm)
Si tienes un segmento cualquiera AB, siempre se podrá colocar en él un punto P de modo que la relación AP/PB sea la que se quiera. Ahora bien hay una posición de P en la cual se verifica que AP/PB=AB/AP. Cuando esto ocurre se dice que el segmento AP es áureo de AB.
Para encontrar el segmento áureo de otro cualquiera puedes hacer lo siguiente:
-Construye un triángulo rectángulo cuyos catetos sean uno doble que el otro, por ejemplo 6 cm y 3 cm. La diferencia entre la hipotenusa y el cateto menor es el segmento áureo del cateto mayor.
Ahora deberás construir un triángulo isósceles A'B'C' cuyos lados repetidos midan 6 y cuya base sea el segmento áureo encontrado. La solución de tu problema es semejante a este triángulo.
Para trazarlo puedes hacer esto:
-Prolonga la base A'B' por uno de sus extremos, el izquierdo, por ejemplo, y lleva A'C"=A'C'.
-Traza la altura y encuentra el punto medio M de la base A'B'. El segmento MC" será el semiperímetro del triángulo A'B'C'.
-Traza en el mismo sentido el segmento MC"' igual al semiperímetro del triángulo ABC que te han propuesto, o sea 10/2= 5 cm.
-Traza C"C' y por C"' la paralela, la cual cortará a la altura en C.
-La paralela a A'C' por C te da el lado repetido del triángulo buscado.
Lo demás es ya fácil ¿no?
, salió en la Selectividad de Madrid en 1998 (Creo), y el enunciado dice lo siguiente:
