hiperbola
Moderador: vicente
Para determinar el eje imaginario de la hipérbola:
1) Traza la mediatriz del eje real (no lo llames eje mayor porque puede ser perfectamente menor)
2) Con centro en el punto medio del eje real, traza una circunferencia de radio igual a la mitad de la distancia focal, que cortará a la prolongación del eje real en los dos focos F y F'
3) Por ambos extremos del eje real traza perpendiculares al propio eje real, que cortarán a la circunferencia antes dibujada en un rectángulo tal que las diagonales de dicho rectángulo prolongadas son las asíntotas de la hipérbola y los ejes de simetría del rectángulo (los que resultan de unir los puntos medios de lados opuestos) son los ejes real e imaginario de la hipérbola. Este rectángulo es el que te permite relacionar siempre eje real, eje imaginario, focos y asíntotas
Respecto a las tangentes a la hipérbola por un punto impropio (no entiendo bien el concepto de punto impropio; voy a entender que se trata de un punto que no es propio de la hipérbola, es decir, que es exterior a ella), puedes consultar el procedimiento en este documento:
http://www.dibujotecnico.com/fotocopiad ... onicas.zip
Como casi todos los problemas en los que intervienen tangentes a curvas cónicas, el procedimiento de resolución se basa en la siguiente propiedad:
El punto simétrico de uno de los focos con respecto a cualquier recta tangente a la curva está situado sobre la circunferencia focal (circunferencia con centro en uno de los focos y radio igual a la medida del eje mayor) del otro foco.
1) Traza la mediatriz del eje real (no lo llames eje mayor porque puede ser perfectamente menor)
2) Con centro en el punto medio del eje real, traza una circunferencia de radio igual a la mitad de la distancia focal, que cortará a la prolongación del eje real en los dos focos F y F'
3) Por ambos extremos del eje real traza perpendiculares al propio eje real, que cortarán a la circunferencia antes dibujada en un rectángulo tal que las diagonales de dicho rectángulo prolongadas son las asíntotas de la hipérbola y los ejes de simetría del rectángulo (los que resultan de unir los puntos medios de lados opuestos) son los ejes real e imaginario de la hipérbola. Este rectángulo es el que te permite relacionar siempre eje real, eje imaginario, focos y asíntotas
Respecto a las tangentes a la hipérbola por un punto impropio (no entiendo bien el concepto de punto impropio; voy a entender que se trata de un punto que no es propio de la hipérbola, es decir, que es exterior a ella), puedes consultar el procedimiento en este documento:
http://www.dibujotecnico.com/fotocopiad ... onicas.zip
Como casi todos los problemas en los que intervienen tangentes a curvas cónicas, el procedimiento de resolución se basa en la siguiente propiedad:
El punto simétrico de uno de los focos con respecto a cualquier recta tangente a la curva está situado sobre la circunferencia focal (circunferencia con centro en uno de los focos y radio igual a la medida del eje mayor) del otro foco.
hipérbola
Hola amigos:
Apolonio, trazar una tangente por un punto impropio no se puede interpretar como trazarla por un punto exterior a la hipérbola sino por un punto del infinito. Un punto impropio viene siempre determinado por una dirección y se comporta como cualquier otro. Por lo cual lo que le piden a "barrika" es que trace una tangente paralela a una dirección dada, la que lleva al punto impropio.
Saludos y ¡ánimo!
Apolonio, trazar una tangente por un punto impropio no se puede interpretar como trazarla por un punto exterior a la hipérbola sino por un punto del infinito. Un punto impropio viene siempre determinado por una dirección y se comporta como cualquier otro. Por lo cual lo que le piden a "barrika" es que trace una tangente paralela a una dirección dada, la que lleva al punto impropio.
Saludos y ¡ánimo!
Muchas gracias, Garicuper.
La verdad es que no tenía ni idea de lo que es un punto impropio. Analizando la palabra (impropio = no propio) pensé que los puntos propios serían los que pertenecen a la hipérbola y los no propios o impropios los puntos exteriores. Ese fue mi razonamiento, demasiado elemental quizás. Bueno, siempre se aprende algo nuevo. ¿Sabrías decirme de donde viene esta denominación de punto impropio?
Barrika, en cualquier caso puedes encontrar la resolución del problema en el mismo documento.
La verdad es que no tenía ni idea de lo que es un punto impropio. Analizando la palabra (impropio = no propio) pensé que los puntos propios serían los que pertenecen a la hipérbola y los no propios o impropios los puntos exteriores. Ese fue mi razonamiento, demasiado elemental quizás. Bueno, siempre se aprende algo nuevo. ¿Sabrías decirme de donde viene esta denominación de punto impropio?
Barrika, en cualquier caso puedes encontrar la resolución del problema en el mismo documento.
Todo perfecto muchas gracias.
Tengo una duda: me piden trazar la tangente a una hiperbola en un punto de ella, las tangentes desde un punto exterior y tambien las tangentes paralelas a una direccion dada, hasta hay todo bien pero luego me dicen que emplee la circunferencia principal para trazar las tres cuestiones.¿A que metodo se estaran refiriendo.?
Tengo una duda: me piden trazar la tangente a una hiperbola en un punto de ella, las tangentes desde un punto exterior y tambien las tangentes paralelas a una direccion dada, hasta hay todo bien pero luego me dicen que emplee la circunferencia principal para trazar las tres cuestiones.¿A que metodo se estaran refiriendo.?
Pues no tenía ni idea de esta cuestión, pero investigando por ahí he visto la siguiente propiedad:
La circunferencia principal de la hipérbola contiene al punto de intersección entre una tangente a la hipérbola cualquiera y la recta perpendicular a dicha tangente que pasa por uno de los focos.
Podemos aplicar esta propiedad a los casos de tangencia que planteas de la siguiente forma:
a) Se conoce el punto de tangencia P, que pertenece a la parábola
Si Q es el punto de intersección entre la recta tangente en P y la perpendicular a la misma que pasa por un de los focos, sabemos por la propiedad enunciada que Q es un punto de la circunferencia principal. Por otra parte, las rectas PQ y FQ (siendo F cualquiera de los focos) son perpendiculares, con lo que el ángulo PQF es de 90º.
Por lo tanto, el punto Q será la intersección del arco capaz de 90º respecto al segmento FQ (semicircunferencia de diámetro FQ) con la circunferencia principal. Como dicha intersección da un par de puntos, halla otro punto Q' repitiendo el procedimiento con el otro foco F' y mira a ver qué par de puntos Q y Q' está alineado con P. La recta PQ será la tangente buscada.
b) Se conoce el punto P, exterior a la hipérbola
Se resuelve igual que el anterior, pues la única condición que hemos aplicado antes es que P es un punto de la tangente, no que P sea un punto de la hipérbola. La peculiaridad ahora es que las dos soluciones obtenidas son válidas, una recta tangente a cada rama de la hipérbola.
c) Tangente paralela a una dirección dada
Se trazan las perpendiculares a la recta dadas por los dos focos. Dichas perpendiculares cortan a la circunferencia principal en dos puntos que sabemos por la propiedad enunciada que pertenecen a la tangente. Como tenemos dos parejas de puntos de corte diferentes tendremos también dos rectas tangentes solución, una para cada rama de la hipérbola.
La circunferencia principal de la hipérbola contiene al punto de intersección entre una tangente a la hipérbola cualquiera y la recta perpendicular a dicha tangente que pasa por uno de los focos.
Podemos aplicar esta propiedad a los casos de tangencia que planteas de la siguiente forma:
a) Se conoce el punto de tangencia P, que pertenece a la parábola
Si Q es el punto de intersección entre la recta tangente en P y la perpendicular a la misma que pasa por un de los focos, sabemos por la propiedad enunciada que Q es un punto de la circunferencia principal. Por otra parte, las rectas PQ y FQ (siendo F cualquiera de los focos) son perpendiculares, con lo que el ángulo PQF es de 90º.
Por lo tanto, el punto Q será la intersección del arco capaz de 90º respecto al segmento FQ (semicircunferencia de diámetro FQ) con la circunferencia principal. Como dicha intersección da un par de puntos, halla otro punto Q' repitiendo el procedimiento con el otro foco F' y mira a ver qué par de puntos Q y Q' está alineado con P. La recta PQ será la tangente buscada.
b) Se conoce el punto P, exterior a la hipérbola
Se resuelve igual que el anterior, pues la única condición que hemos aplicado antes es que P es un punto de la tangente, no que P sea un punto de la hipérbola. La peculiaridad ahora es que las dos soluciones obtenidas son válidas, una recta tangente a cada rama de la hipérbola.
c) Tangente paralela a una dirección dada
Se trazan las perpendiculares a la recta dadas por los dos focos. Dichas perpendiculares cortan a la circunferencia principal en dos puntos que sabemos por la propiedad enunciada que pertenecen a la tangente. Como tenemos dos parejas de puntos de corte diferentes tendremos también dos rectas tangentes solución, una para cada rama de la hipérbola.
Punto impropio donde se cortan dos rectas paralelas ( en el infinito)
Recta impropia donde se cortan dos planos paralelos
Punto impropio donde corta una asintota a la curva
En este caso, la recta tg a la curva desde un punto impropio es la ASINTOTA (recta que va desde el origen-int de ejes punto O, hasta el punto de intersección de la circunferencia de aradio OF que corta la _/_ por el vertice A al eje real. que forma un triángulo rectangulo de c^2= a^2 +b^2 donde a =OA, c = OF y b = semieje imaginario _/_
Recta impropia donde se cortan dos planos paralelos
Punto impropio donde corta una asintota a la curva
En este caso, la recta tg a la curva desde un punto impropio es la ASINTOTA (recta que va desde el origen-int de ejes punto O, hasta el punto de intersección de la circunferencia de aradio OF que corta la _/_ por el vertice A al eje real. que forma un triángulo rectangulo de c^2= a^2 +b^2 donde a =OA, c = OF y b = semieje imaginario _/_
hipérbola
Hola amigos:
No estoy de acuerdo "pacodib", lo que se pide es una tangente desde un punto impropio no en un punto impropio, por tanto la tangente puede llevar cualquier dirección. Cualquier tangente tiene un punto en el infinito ¿no?, por consiguiente no es una asíntota la solución.
Saludos y ¡ánimo!
No estoy de acuerdo "pacodib", lo que se pide es una tangente desde un punto impropio no en un punto impropio, por tanto la tangente puede llevar cualquier dirección. Cualquier tangente tiene un punto en el infinito ¿no?, por consiguiente no es una asíntota la solución.
Saludos y ¡ánimo!
Última edición por Garicuper el Vie Dic 01, 2006 12:46 pm, editado 1 vez en total.
hipérbola
Hola amigos:
En cuanto a lo que se ha dicho de la circunferencia principal debo añadir que en la elípse y en la hipérbola esta circunferencia se define como "lugar geométrico de los piés de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la curva". O sea que trazada cualquier tangente y tirada desde un foco la perpendicular a ella, el pié de esta perpendicular deberá pertenecer a la circunferencia principal.
En la parábola esta circunferencia principal se ha convertido en la recta tangente en el vértice y también se cumple lo dicho.
En las cónicas, cuando se traza una tangente, están presentes desde ese momento tres puntos que son inseparables y forman un triángulo: el punto de tangencia T, que está en la curva, el simétrico del foco respecto de esa tangente F1, que está en la circunferencia focal cuyo centro es el otro foco y el pié M de la perpendicular trazada a la tangente desde el foco que está en la circunferencia principal. El primero, al moverse, genera la cónica, el segundo que va con él genera la circunferencia focal (recta directriz en la parábola), al tiempo que el tercero se entretiene en generar la circunferencia principal (tangente en el vértice en la parábola).
Saludos y ¡ánimo!
En cuanto a lo que se ha dicho de la circunferencia principal debo añadir que en la elípse y en la hipérbola esta circunferencia se define como "lugar geométrico de los piés de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la curva". O sea que trazada cualquier tangente y tirada desde un foco la perpendicular a ella, el pié de esta perpendicular deberá pertenecer a la circunferencia principal.
En la parábola esta circunferencia principal se ha convertido en la recta tangente en el vértice y también se cumple lo dicho.
En las cónicas, cuando se traza una tangente, están presentes desde ese momento tres puntos que son inseparables y forman un triángulo: el punto de tangencia T, que está en la curva, el simétrico del foco respecto de esa tangente F1, que está en la circunferencia focal cuyo centro es el otro foco y el pié M de la perpendicular trazada a la tangente desde el foco que está en la circunferencia principal. El primero, al moverse, genera la cónica, el segundo que va con él genera la circunferencia focal (recta directriz en la parábola), al tiempo que el tercero se entretiene en generar la circunferencia principal (tangente en el vértice en la parábola).
Saludos y ¡ánimo!
, a las tres cuestiones con la circuferencia principalPor muchas vueltas que le doy no consigo entender esto:
"Por lo tanto, el punto Q será la intersección del arco capaz de 90º respecto al segmento FQ (semicircunferencia de diámetro FQ) con la circunferencia principal. Como dicha intersección da un par de puntos, halla otro punto Q' repitiendo el procedimiento con el otro foco F' y mira a ver qué par de puntos Q y Q' está alineado con P. La recta PQ será la tangente buscada."
"Por lo tanto, el punto Q será la intersección del arco capaz de 90º respecto al segmento FQ (semicircunferencia de diámetro FQ) con la circunferencia principal. Como dicha intersección da un par de puntos, halla otro punto Q' repitiendo el procedimiento con el otro foco F' y mira a ver qué par de puntos Q y Q' está alineado con P. La recta PQ será la tangente buscada."