Intersección de tetraedro con recta

[carlos_fdez90]

Buenas,
el motivo de mi consulta es preguntar si este ejercicio que he realizado, de hallar la intersección de una recta con un tetraedro regular apoyada una de sus caras en el PHP, es correcto. El tetraedro está en verde, y la recta con la que quiero hallar la intersección, en color mostaza. El procedimiento seguido ha sido, una vez construido el tetraedro y conocidas las proyecciones de la recta, he creado otra recta, de color rojo, que se corta con la anterior recta (mostaza) y pasa por el vértice del tetraedro. Esto lo he realizado para hallar el plano creado por la recta color mostaza y el vértice del tetraedro. Una vez conocidas las 2 rectas (roja y mostaza) he hallado las trazas horizontales de ambas y, uniéndolas, he hallado la traza P del plano (en negro). La traza corta a la base del tetraedro en los 2 puntos marcados, que unidos al vértice, nos da la sección formada por el plano y por el tetraedro. Esta sección la subimos a proyección vertical, y, donde la recta corta a la sección (recta mostaza, recuerdo),son los puntos de entrada y de salida de la recta del poliedro.

Quisiera saber si el método es totalmente correcto, y realizando el ejercicio por este método, como me daría cuenta de que una recta hipotética que me dieran no cortase al poliedro realmente.
¿Es este método siempre aplicable? ¿O solo cuando el tetraedro se encuentre con una de sus caras apoyadas en el PHP?

Gracias de antemano.

Adjunto la imagen:

[img][img=http://img233.imageshack.us/img233/6919/interseccinderectaconteev9.th.jpg][/img]

[vicente]

El método es correcto. En realidad has utilizado el procedimiento específico para la intersección de recta con pirámide (o con cono) y el tetraedro es también una pirámide.
Si la recta no cortase al poliedro lo detectarias perfectamente porque la traza horizontal del plano no cortaría a la base.
Para este problema te recomiendo otro método más corto, válido para cualquier tipo de superficie poliédrica (poliedros, prismas y pirámides) que consiste en lo siguiente:
1º) Considera la recta dada contenida en un plano proyectante, por ejemplo, vertical.
2º) El corte del plano con cada arista del poliedro lo ves directamente en la proyección vertical y lo bajas con líneas de referencia a la correspondiente arista de la proyección horizontal. Obtendrás un polígono sección.
3º) Los puntos comunes de la recta con el polígono son los de entrada y salida buscados.
Si no hubiese puntos comunes sería sencillamente porque la recta no corta al poliedro.

[carlos_fdez90]

Muchísimas gracias Vicente, la razón por la que decidí hacer la pregunta era esa exactamente, lo había intentado antes hacer con un proyectante directamente, porque parecía lo más cómodo, y no me salieron los mismos puntos de entrada y salida. Sin duda cometí un error, ya que no llevé a cabo el método perfectamente correcto. Ahora ya veo dónde fallaba y la simplicidad del ejercicio. Adjunto el ejercicio hecho mediante el método que me has recomendado. Una última cosa: en proyección vertical, para ver los puntos de entrada y salida, los tengo que subir obligatoriamente desde la proyección horizontal mediante líneas de referencia, ¿verdad? Es decir, no se ve en la proyección vertical de la misma forma que en la horizontal, como ocurría utilizando el plano que contenía a a recta y el vértice. Espero haberme explicado, y gracias de nuevo

[img=http://img20.imageshack.us/img20/3403/interseccinderectacontefz8.th.jpg]

[carlos_fdez90]

Ah, y por cierto, sirve también para cilindros, supongo, no?

[vicente]

Efectivamente los puntos de intersección los debes subir desde la proyección horizontal hacia la proyección vertical de la recta. La visibilidad de ésta no tiene porqué ser igual en una proyección que en otra, aunque en este caso concreto así sea. Si la recta hubiese salido por una cara trasera tendrías un trozo oculto en el alzado que no lo estaría en la planta.
En cuanto a lo de aplicar este mismo método en conos y cilindros, no te lo aconsejo porque tendrías que determinar en la planta la intersección de la recta con la cónica sección y esto lleva un rato.
Para cilindros y conos es más sencillo utilizar el método que empleaste inicialmente. Recuerda que en el caso del cilindro, que tiene el vértice impropio (en el infinito) la recta segunda sería paralela a su eje.

[carlos_fdez90]

Efectivamente los puntos de intersección los debes subir desde la proyección horizontal hacia la proyección vertical de la recta. La visibilidad de ésta no tiene porqué ser igual en una proyección que en otra, aunque en este caso concreto así sea. Si la recta hubiese salido por una cara trasera tendrías un trozo oculto en el alzado que no lo estaría en la planta.

Supongo, Vicente, que lo que quieres decir es que las partes vistas y ocultas del poliedro (o de la sección, mejor dicho) podrían ser distintas en proyección vertical y horizontal. Eso lo entiendo. Subo ahora un ejercicio en el que quiero hallar la intersección de la recta naranja con el octaedro. Para ello creo un plano proyectante horizontal que contenga a la recta, hallo las intersecciones con las aristas, las subo a proyección vertical y obtengo la sección generada por el poliedro y el plano proyectante. Para conocer puntos de entrada y salida de la recta, busco donde se cortan ésta y la sección. Aprovecho para ver si me podeis aclarar si están correctamente ambos ejercicios (sección con el plano y puntos de entrada y salida de la recta). Me disculpo por ser tan repetitivo con ejercicios equivalentes pero es que no tengo los dibujos (no tengo ninguno con la solución) y necesito saber si son correctos así. Gracias de nuevo.

PD: Recta naranja (se ve color mostaza), poliedro en verde, sección en roja(rayada) y puntos de entrada y salida en magenta.

[img=http://img403.imageshack.us/img403/9519/interseccinrectaoctaedrag4.th.jpg]

[carlos_fdez90]

Olvidé poner en discontinua las partes ocultas de la sección... Aún así, me sigue interesando saber si lo demás es correcto

[Dibujo Tecnico]

Hola, soy nuevo por aqui y necesito una ayuda (soy un patan en dibujo jeje). Podriais explicar como se hacen las partes vistas ocultas de la figura y de la recta? si puede ser, tambien para casos generales (de cilindros y demas), no solo para este.
Tambien necesitaria saber como se hace la seccion podrucida por un plano en una piramide o un cono. Y si ese plano fuera el vertical de proyección tambien me ayudaria (en caso de ser el mismo proceso para ambos casos, me valdria con uno).

Muchas gracias por adelantado!!! si apruebo el viernes os pongo un monumento

[vicente]

Carlos,
Tienes un pequeño fallo en la intersección con el octaedro, el punto más a la derecha de la proyección horizontal debes subirlo a la arista más a la derecha de la proyección vertical, la de contorno. Esto te cambiará un poquito el polígono sección y, por tanto, el punto de salida.
En cuanto a lo de las partes vistas y ocultas, lo que quiero decir es que si la recta sale por una cara oculta (sea de la proyección que sea) seguirá sin verse hasta que salga del contorno de esa proyección.

[carlos_fdez90]

Cierto Vicente, tienes razón, muchas gracias por las respuestas y por toda la ayuda