Conociendo el eje mayor el menor y los focos de una elipse hallar los puntos de interseccion con la recta r, sin dibujar la conica.
Muchas gracias
Elipse
Moderador: vicente
No sé si sabrás que la elipse también se puede definir como el lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias que pasan por un punto fijo (uno de los focos) y son tangentes a una circunferencia fija (la circunferencia focal del otro foco). Por lo tanto, los dos puntos de intersección de la elipse con la recta r son los centros de dos circunferencias que verifican;
- Su centro está sobre la recta r
- Pasan por F1
- Son tangentes a la circunferencia focal de F2
Si las circunferencias buscadas han de pasar por F1 y tienen su centro en la recta r, también pasarán por el simétrico de F1 con respecto a r, que estará situado en la recta F1F2.
No tienes más que solucionar, por tanto, un caso de tangencia PPC por alguno de los métodos que conozcas. Lo más sencillo, en mi opinión, es trazar una circunferencia auxiliar con centro en la recta r que corte a la circunferencia focal de F2 en dos puntos P y Q tal que la intersección de PQ con F1F2 será el centro radical de las dos circunferencias buscadas y de la circunferencia auxiliar tomada. Trazando tangentes desde este centro radical a la circunferencia focal obtendrás los puntos de tangencia sobre la misma. La prolongación de los radios de la circunferencia focal de F2 que pasan por los puntos de tangencia antes hallados cortarán a la recta r en los dos puntos de intersección con la elipse buscados.
- Su centro está sobre la recta r
- Pasan por F1
- Son tangentes a la circunferencia focal de F2
Si las circunferencias buscadas han de pasar por F1 y tienen su centro en la recta r, también pasarán por el simétrico de F1 con respecto a r, que estará situado en la recta F1F2.
No tienes más que solucionar, por tanto, un caso de tangencia PPC por alguno de los métodos que conozcas. Lo más sencillo, en mi opinión, es trazar una circunferencia auxiliar con centro en la recta r que corte a la circunferencia focal de F2 en dos puntos P y Q tal que la intersección de PQ con F1F2 será el centro radical de las dos circunferencias buscadas y de la circunferencia auxiliar tomada. Trazando tangentes desde este centro radical a la circunferencia focal obtendrás los puntos de tangencia sobre la misma. La prolongación de los radios de la circunferencia focal de F2 que pasan por los puntos de tangencia antes hallados cortarán a la recta r en los dos puntos de intersección con la elipse buscados.