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Triángulos I

ELEMENTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

 
  MEDIATRICES Y CIRCUNCENTRO

 
     Si trazamos las mediatrices de los tres lados de un triángulo, estas se cortarán en un mismo punto, que se demomina Circuncentro(Oc), y que resulta ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.




 
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  BISECTRICES, INCENTRO Y EXICENTRO

 
    
Si trazamos las bisectrices de los tres ángulos internos de un triángulo, estas se cortarán en un mismo punto, que se denomina Incentro(Oi), y que resulta ser el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

     Si trazamos las bisectrices de los ángulos formados por un lado y la prolongación de los otros dos, ambas bisectrices se cortan en un punto, por el que también pasa la bisectriz del ángulo interno, opuesto al lado elegido, dicho punto se denomina Exicentro(Oe), y que resulta ser el centro de una circunferencia tangente exterior al triángulo. Según la pareja de lados del triángulo que se prolonguen, podremos obtener hasta tres Exicentros.



 
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  ALTURAS, ORTOCENTRO Y TRIÁNGULO ÓRTICO

 
    
Las Alturas de un triángulo, son las tangentes trazadas desde cada vértice al lado opuesto, o su prolongación.

     Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto, que se denomina Ortocentro(Oo). El triángulo resultante de unir las tres bases de las alturas (Ha,Hb,Hc), se denomina triángulo órtico, y el Ortocentro(Oo) resulta ser el incentro de dicho triángulo órtico.

     Si por cada unos de los vértices de un triángulo, trazamos rectas paralelas al lado opuesto, dichas rectas determinan un triángulo, que se denomina triángulo circunscrito del dado, siendo ambos triángulos semejantes, y como vemos en la figura, el Ortocencentro(Oo) del triángulo dado es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo circunscrito.


 
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  MEDIANAS Y BARICENTRO

 
    
Las medianas de un triángulo, son las rectas que unen cada vértice con el centro del lado opuesto.

     Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto, que se denomina Baricentro(Ob). El segmento de mediana que va desde cada vértice al baricentro es 2/3 de la mediana, y en consecuencia, el segmento de mediana restante será 1/3 de la misma.

     Si por los pies de las medianas, trazamos rectas paralelas a las otras dos medianas, veremos como se dibuja un hexágono. Dicho hexágono está compuesto por seis triángulos, cuyos lados son 1/3 de cada mediana.

                        


 
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  SEGMENTO Y CIRCUNFERENCIA DE EULER O FEUERBACH

 
    
En todo triángulo, el Ortocentro, el Baricentro y el Circuncentro están alineados, y el segmento que definen se denomina segmento de Euler.
 
    
El centro del Segmento de Euler, es el centro(Oe) de la Circunferencia de Euler. La Circunferencia de Euler tiene la propiedad de pasar por nueve puntos:

               - Los 3 pies de las alturas
               - Los 3 pies de las mediatrices de los lados
              
- Los 3 puntos medios de los segmentos A-Oo, B-Oo y C-Oo

 
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  RECTA DE SIMPSON

 
    
Las Rectas de Simpson son las rectas que une los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita, a los tres lados del triángulo o sus prolongaciones.

 
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  CIRCUNFERENCIA DE TAYLOR

 
    
La Circuferencia de Taylor es la circunferencia que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas desde los pies de las alturas a los lados del triángulo. Y es una circunferencia de Tucker.

 
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  TRIÁNGULOS DE NAPOLEÓN

 
    
Dado un triángulo cualquiera ABC, si construimos los triángulos equiláteros exteriores, cuyas bases sean los lados de dicho triángulo, los centros de esos tres triángulosa 1-2-3, serán los vértices del triángulo de Napoleón exterior.

     Si sobre ese mismo triángulo construimos los triángulos equiláteros interiores, cuyas bases sean los lados de dicho triángulo, los centros de esos tres triángulos 1'-2'-3', serán los vértices del triángulo de Napoleón interior.

     Los dos triángulos de Napoleón son triángulos equiláteros, y se cumple que la diferencia entre sus áreas, es igual al área del triángulo base ABC.

 
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