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PARÁBOLA (I)

 
  DEFINICIÓN

 
     La parábola es una curva abierta y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto denominado foco, y una recta denominada directriz, observando la figura, FP = PQ = r.

     El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz, que pasa por el foco F. La distancia FD, del foco a la directriz, se denomina parámetro de la parábola, el punto medio del segmentoFD, es el punto V, que se denomina vértice de la parábola.

 

 
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  PROPIEDADES Y ELEMENTOS


    
La parábola se puede considerar como una elipse, uno de cuyos vértices se encuentra en el infinito, así como el centro de la curva. Partiendo de esta consideración, comprobaremos que las propiedades enunciadas para la elipse, se cumplen igualmente en la parábola.

     La circunferencia principal Cp, pasará por el vértice V de la curva, y dado que el centro de la curva se encuentra en el infinito, la circunferencia principal resulta ser la recta perpendicular al eje en el vértice V. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la parábola. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen el foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la parábola.

     La única circunferencia focal Cf de la parábola, tendrá su centro en el infinito, y deberá pasar por el punto D, simétrico del foco respecto a la tangente el en vértice de la curva, resultando por tanto, una recta coincidente con la directriz de la parábola. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco F, respecto a las tangentes (t) de la parábola.

     Observando la figura, también podemos definir la parábola, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por el foco F, y son tangentes a la circunferencia focal.


 
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  TRAZADO DE LA PARÁBOLA MEDIANTE RADIOS VECTORES


    
Teniendo en cuanta la definición de la parábola, buscaremos puntos equidistantes del foco F, y la directriz d. Para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje, 1, 2, 3, etc., por los que trazaremos paralelas a la directriz. Trazando arcos de circunferencia de centro en F, y radio las distancias D1, D2, D3, etc., determinaremos sobre las correspondientes paralelas anteriores, los puntos 1', 2', 3', etc., puntos de la parábola buscada.

     Con cada pareja de radios vectores, se determinarán dos puntos de la parábola, uno en cada rama de la misma.

     Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la parábola, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.


 
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  TRAZADODE LA PARÁBOLA POR HACES PROYECTIVOS


    
Comenzaremos obteniendo un punto P de la curva por radios vectores, y trazaremos el rectángulo APCV, y dividiremos los lados AP y PC en un mismo número de partes iguales.

     Por las divisiones de AP, trazaremos paralelas al eje de la curva, y uniremos las divisiones de CP, con el vértice V de la curva. La intersección de estas rectas con las paralelas anteriores, determinarán puntos, como el P, pertenecientes a la parábola buscada. Esto se repetirá para la otra rama de la parábola.


 
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  TRAZADO DE LA PARÁBOLA POR ENVOLVENTES


    
Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal, en este caso, la tangente a la curva en el vértice, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes a la parábola.

     Para este trazado partiremos de puntos 1, 2, 3, etc, de la circunferencia principal. Uniremos dichos puntos con el foco F, y trazaremos por los puntos anteriores perpendiculares a los segmentosl F1, F2, F3, etc., obteniendo las rectas tangentes a la parábola. La curva se determinará mediante tangentes a dichas rectas.


 
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  TRAZADO DE LA PARÁBOLA EN BASE A LA DEFINICIÓN DE LA CURVA


    
Esta construcción se basa en la definición de la parábola, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por el foco F, y son tangentes a la circunferencia focal.

     Comenzaremos trazando las rectas F1, F2, F3, etc., que unen el foco de la curva F, con puntos de la directriz d. .

     Seguidamente trazaremos las perpendiculares a los segmentos anteriores, en su punto de intersección con la circunferencia principal, en el caso del segmento F1, en el punto s. Esta perpendicular resulta ser la mediatriz del segmento F1, y tangente a la la curva.

     Trazando por el punto 1, una paralela al eje de la curva, dicha paralela interceptará a la tangente anteriormente trazada en el punto T1, punto de la parábola.

     Repitiendo con el resto de puntos, obtendremos los suficientes puntos de la curva para poder ser trazada.


 
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