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Curvas cónicas II

CURVAS CÓNICAS

CONSIDERACIONES GENERALES

 
  DEFINICIÓN

 
     Se denomina superficie cónica de revolución, a la superficie generada por una recta denominada generatriz, al girar entorno a otra recta denominada eje.

     El punto donde la generatriz corta al eje se denomina vértice V de la superficie cónica.

 

     Si un plano a, intercepta a una superficie cónica de revolución, la sección producida se denomina superficie cónica, y su contorno es una curva plana de segundo grado.

     Las curvas cónicas propiamente dichas son tres Elipse, Parábola e Hipérbola.

     La Elipse se genera cuando el plano a es oblicuo respecto al eje, y corta a todas las generatrices.

     La Parábola se genera cuando el plano a es paralelo a una generatriz.

     La Hipérbola se genera cuando el plano a es paralelo a dos generatrices. Por cuestiones didácticas y de mejor comprensión, se suele representar utilizando un plano a paralelo al eje de la superficie cónica de revolución.

ELIPSE
PARÁBOLA
HIPÉRBOLA

     En la siguiente figuras puedes apreciar mejor en rojo, las curvas cónicas obtenidas.

ELIPSE
PARÁBOLA
HIPÉRBOLA

     Al interceptar una superficie cónica de revolución con un plano, podemos contemplar dos ángulos, el a formado por el eje y la generatriz, y el b formado por el eje y el plano de corte.

     La relación entre estos ángulos determina el tipo cónica generada, como se puede apreciar en las figuras siguientes.

a < b
a = b
a > b
ELIPSE
PARÁBOLA
HIPÉRBOLA

 

 
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  CÓNICAS SINGULARES O DEGENERADAS

 
    
En función de la posición del plano de corte y las propiedades del cono, se pueden obtener otras curvas cónicas que se denominan singulares o degeneradas.
Punto
Círculo
Círculo
2 Triángulos
Rectángulo
Línea
Línea

 
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  TEOREMA DE DANDELÍN

 
    
Según el teorema de Dandelín, si trazamos las esferas tangentes interiores a la superficie cónica de revolución y al plano el a que la corta, los puntos de intersección f y f' de dicha esfera con la recta r, eje de las curvas cónicas, son los denominados focos de las curvas.

     Mientras en la elipse y en la hipérbola hay dos focos, en la parábola solo tendremos uno.
Elipse
Parábola
Hipérbola

 
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