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Sala de estudiosTeoríaGeometría planaCurvas cónicasElipse (I)

 
Curvas cónicas I
Curvas cónicas III

ELIPSE (I)

 
  DEFINICIÓN

 
     La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias r+r', a dos puntos fijos F y F', denominados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor A-B de la elipse.

     La elipse tiene dos eje, el eje mayor A-B, también llamado real, y el eje menor C-D, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro O de la elipse.

     La longitud del eje mayor es 2a, la del eje menor 2b y la distancia focal 2c, y se cumple que .

     La elipse es simétrica respecto a los dos ejes.

     Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan radios vectores r y r', y por definición se cumple que r+r' = 2a.

 

 
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  PROPIEDADES Y ELEMENTOS


    
Se denomina circunferencia principal Cp, a la circunferencia de centro O, y diámetro 2a. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse

     Se denomina circunferencia focal Cf, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podrán trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.

     Observando la figura, también podemos definir la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.


 
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  CONCEPTO DE DIÁMETROS CONJUGADOS


    
Si tenemos un diámetro de la elipse A'B', el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D'C' del dado.

     Los ejes reales de la elipse, son los únicos diámetros conjugados perpendiculares entre si.

     Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.


 
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  OBTENCIÓN DE LOS EJES REALES, A PARTIR DE LOS EJES CONJUGADOS


    
Dados los ejes conjugados de una elipse A'B' y C'D', podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:

  1. 1.- Por O, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado A'B', y sobre el llevaremos la distancia O-A', determinando el punto 1.
  2. 2.- Uniremos el punto 1 con C', y determinaremos el punto medio 2, de dicho segmento.
  3. 3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-O, que determinará sobre la prolongación del segmento 1-C', los puntos 3 y 4. Las rectas O-3 y O-4 determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.
  4. 4.- Con centro en 2 trazaremos la circunferencia de diámetro1-C'. Uniendo el centro O con 2, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos 5 y 6, siendo las distancias O-5 y O-6, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.
  5. 5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo así los ejes reales de la elipse AB y CD.


 
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