homologia
Moderador: vicente
- João Risueño Cruz
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Para que dos circunferencias sean mutuamente homólogas, la homología debe satisfacer dos condiciones:
(i) El centro de homología tiene que ser uno de los centros de homotecia (o inversión) de las dos circunferencias (es decir, el punto donde se cortan las tangentes comunes a las dos circunferencias)
(ii) El eje de homología tiene que ser el eje radical de las dos circunferencias
__________
Sea r la perpendicular al eje por el punto O, que corta al eje e en un punto X. Se desea determinar sobre r los centros O1 y O2 de las circunferencias c1 y c2. El punto X tiene la misma potencia respecto a ambas circunferencias, de forma que puede escirbirse:
(XO1+r1)(XO1-r1) = (XO2+r2)(XO2-r2)
--> XO2^2 - XO1^2 = r2^2 - r1^2
Pero además es XO1 = OO1 + XO, y XO2 = OO2 - XO, y, puesto que O es el centro de homología de las dos circunferencias, será OO2 = OO1 · r1/r2
Juntando todo:
[OO1 · r1/r2 - XO]^2 - [OO1 + XO]^2 = [(r1/r2)^2 - 1] OO1^2 - 2 XO [(r1/r2) - 1] OO1 = r2^2 - r1^2
2 XO r2 (r2-r1) OO1 - (r2^2 - r1^2) OO1^2 = r2^2 (r2^2 - r1^2)
Sea m := XO r2 (r2-r1) / (r2^2 - r1^2). La ecuación anterior quedará como:
2 m OO1 - OO1^2 = r2^2
OO1 (2m - OO1) = r2^2
________________
Resolución:
1) Determinar el segmento p que es hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos r1 y r2
2) Determinar, mediante una construcción de cuarta proporcional, el segmetno q = XO r2 / p
3) Determinar, mediante una construcción de cuarta proporcional, el segmetno m = q (r2-r1) / p
4) Dibujar un segmento AB de longitud m
5) Trazar la semicircunferencia de diámetro AB, y una paralela al segmento AB a la distancia r2, que corte a la semicircunferencia anterior en un punto C
6) Trazar la perpendicular a AB por C, que corta a AB en un punto D
7) La distancia AD es OO1, lo que determina la posición de O1 sobre la perpendicular a e que pasa por O y, por lo tanto, la circunferencia c1
8 ) Trazar las tangentes desde O a c1; trazar paralelas a las tangentes anteriores a la distancia r2, que se cortarán mutuamente en O2
(i) El centro de homología tiene que ser uno de los centros de homotecia (o inversión) de las dos circunferencias (es decir, el punto donde se cortan las tangentes comunes a las dos circunferencias)
(ii) El eje de homología tiene que ser el eje radical de las dos circunferencias
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Sea r la perpendicular al eje por el punto O, que corta al eje e en un punto X. Se desea determinar sobre r los centros O1 y O2 de las circunferencias c1 y c2. El punto X tiene la misma potencia respecto a ambas circunferencias, de forma que puede escirbirse:
(XO1+r1)(XO1-r1) = (XO2+r2)(XO2-r2)
--> XO2^2 - XO1^2 = r2^2 - r1^2
Pero además es XO1 = OO1 + XO, y XO2 = OO2 - XO, y, puesto que O es el centro de homología de las dos circunferencias, será OO2 = OO1 · r1/r2
Juntando todo:
[OO1 · r1/r2 - XO]^2 - [OO1 + XO]^2 = [(r1/r2)^2 - 1] OO1^2 - 2 XO [(r1/r2) - 1] OO1 = r2^2 - r1^2
2 XO r2 (r2-r1) OO1 - (r2^2 - r1^2) OO1^2 = r2^2 (r2^2 - r1^2)
Sea m := XO r2 (r2-r1) / (r2^2 - r1^2). La ecuación anterior quedará como:
2 m OO1 - OO1^2 = r2^2
OO1 (2m - OO1) = r2^2
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Resolución:
1) Determinar el segmento p que es hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos r1 y r2
2) Determinar, mediante una construcción de cuarta proporcional, el segmetno q = XO r2 / p
3) Determinar, mediante una construcción de cuarta proporcional, el segmetno m = q (r2-r1) / p
4) Dibujar un segmento AB de longitud m
5) Trazar la semicircunferencia de diámetro AB, y una paralela al segmento AB a la distancia r2, que corte a la semicircunferencia anterior en un punto C
6) Trazar la perpendicular a AB por C, que corta a AB en un punto D
7) La distancia AD es OO1, lo que determina la posición de O1 sobre la perpendicular a e que pasa por O y, por lo tanto, la circunferencia c1
8 ) Trazar las tangentes desde O a c1; trazar paralelas a las tangentes anteriores a la distancia r2, que se cortarán mutuamente en O2
Última edición por apolonio el Vie Abr 11, 2008 10:55 am, editado 1 vez en total.
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