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homologia

Cuestiones relativas a los trazados en el plano

Moderador: vicente

homologia

Notapor João Risueño Cruz » Vie Mar 14, 2008 12:08 am

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João Risueño Cruz
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Notapor apolonio » Vie Abr 11, 2008 9:12 am

Para que dos circunferencias sean mutuamente homólogas, la homología debe satisfacer dos condiciones:

(i) El centro de homología tiene que ser uno de los centros de homotecia (o inversión) de las dos circunferencias (es decir, el punto donde se cortan las tangentes comunes a las dos circunferencias)

(ii) El eje de homología tiene que ser el eje radical de las dos circunferencias

__________


Sea r la perpendicular al eje por el punto O, que corta al eje e en un punto X. Se desea determinar sobre r los centros O1 y O2 de las circunferencias c1 y c2. El punto X tiene la misma potencia respecto a ambas circunferencias, de forma que puede escirbirse:

(XO1+r1)(XO1-r1) = (XO2+r2)(XO2-r2)

--> XO2^2 - XO1^2 = r2^2 - r1^2

Pero además es XO1 = OO1 + XO, y XO2 = OO2 - XO, y, puesto que O es el centro de homología de las dos circunferencias, será OO2 = OO1 · r1/r2

Juntando todo:

[OO1 · r1/r2 - XO]^2 - [OO1 + XO]^2 = [(r1/r2)^2 - 1] OO1^2 - 2 XO [(r1/r2) - 1] OO1 = r2^2 - r1^2

2 XO r2 (r2-r1) OO1 - (r2^2 - r1^2) OO1^2 = r2^2 (r2^2 - r1^2)

Sea m := XO r2 (r2-r1) / (r2^2 - r1^2). La ecuación anterior quedará como:

2 m OO1 - OO1^2 = r2^2

OO1 (2m - OO1) = r2^2

________________


Resolución:

1) Determinar el segmento p que es hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos r1 y r2

2) Determinar, mediante una construcción de cuarta proporcional, el segmetno q = XO r2 / p

3) Determinar, mediante una construcción de cuarta proporcional, el segmetno m = q (r2-r1) / p

4) Dibujar un segmento AB de longitud m

5) Trazar la semicircunferencia de diámetro AB, y una paralela al segmento AB a la distancia r2, que corte a la semicircunferencia anterior en un punto C

6) Trazar la perpendicular a AB por C, que corta a AB en un punto D

7) La distancia AD es OO1, lo que determina la posición de O1 sobre la perpendicular a e que pasa por O y, por lo tanto, la circunferencia c1

8 ) Trazar las tangentes desde O a c1; trazar paralelas a las tangentes anteriores a la distancia r2, que se cortarán mutuamente en O2
Última edición por apolonio el Vie Abr 11, 2008 10:55 am, editado 1 vez en total
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Notapor João Risueño Cruz » Vie Abr 11, 2008 9:26 am

Sea r la tangente al eje por el punto O, que corta al eje e en un punto X.

no entiendo
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Notapor apolonio » Vie Abr 11, 2008 10:56 am

Perdona, quise decir "perpendicular" en vez de "tangente"
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Notapor João Risueño Cruz » Dom Abr 13, 2008 1:55 am

5) Trazar la semicircunferencia de diámetro AB, y una paralela al segmento AB a la distancia r2, que corte a la semicircunferencia anterior en un punto C

AB/2 me sale más pequeño que r2

como se hace la construcion de la cuarta proporcional para q/xO=r2/p ?

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