dos circulos

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Sea c2' la circunferencia buscada. Como c2' es homotética de c2 en una homotecia de centro P, también será inversa de c2 en una inversión de centro P. Como la inversión conserva tangencias, al ser c2' tangente a c1, c2 debe ser tangente a c1', la inversa de c1 en la inversión de centro P que debe ser determinada.

Con los elementos dados es posible determinar c1' ya que: (i) es tangente a las dos rectas tangentes a c1 trazadas desde P, y (ii) es tangente a c2. Así pues, se determinará la circunferencia c1' resolviendo el correspondiente caso de tangencia RRC (equivalente a un caso de tangencia PRR, equivalente a su vez a un caso de tangencia PPR).

Si T es el punto de tangencia de c1' con c2 (dos valores posibles), entonces el punto de intersección de PT con c1 será T', inverso de T, que debe ser por tanto el punto de tangencia de c1 con c2'. El centro de la circunferencia c2' estará en la intersección de la recta que une P con el centro de c2 y la recta que une el centro de c1 con T'.

[João Risueño Cruz]

PPR

cuales son los dos P y cual es R para determinar c1' ?

[apolonio]

La circunferencia c1' a determinar es tangente:
(i) A las dos rectas tangentes a c1 trazadas desde P
(ii) A la circunferencia c2
Tenemos así un caso de tangencia RRC

Por dilatación, si trazamos paralelas a las dos rectas a una distancia de las mismas igual al radio de c2, alejándolas del centro de c1, entonces el centro de la circunferencia c1' buscada coincidirá con el centro de la circunferencia que:
(i) Es tangente a las dos paralelas trazadas
(ii) Pasa por el centro de c2
Hemos transformado el problema en un caso de tangencias PRR equivalente.

El centro de la circunferencia c1' buscada estará en la bisectriz del ángulo que forman las dos paralelas antes trazadas; de hecho, dicha bisectriz constituye un eje de simetría del problema. De esta forma, también puede determinarse el centro de c1' como el centro de la circunferencia que:
(i) Pasa por el centro de c2
(ii) Pasa por el simétrico del centro de c2 con respecto a la bisectriz del ángulo que forman las dos paralelas
(iii) Es tangente a una de las dos paralelas
Y el problema queda así finalmente reducido a un caso de tangencias PPR

[João Risueño Cruz]

a mi parece que hay un error de resolucion porque c2' no sale tangente a c2

mi sugestion es que no sale tangente porque tambien c1' no es tangente a c1

[apolonio]

c2 no tiene que ser tangente a c2', ni c1 a c1'. La tangencia está entre c1' y c2, y, por lo tanto, también entre c1 y c2'

[João Risueño Cruz]