punto P

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Sea A' la proyección ortogonal de un punto P cualquiera situado en el interior del triángulo ABC sobre el lado BC del triángulo, sea B' su proyección ortogonal sobre el lado AC y sea C' su proyección ortogonal sobre el lado AB. El triángulo A'B'C' es el denominado triángulo pedal del punto P con respecto al triángulo ABC, que, según el enunciado del problema, debe ser semejante al triángulo A1B1C1 dado.

Fácilmente se observa que el ángulo <B'PC' debe ser complementario del ángulo <A del triángulo, de forma que en el cuadrilátero AB'PC los cuatro ángulos internos sumen 360º. Se tiene pues que

<B'PC' = 180º - <A

y, de la misma forma:

<A'PC' = 180º - <B
<A'PB' = 180º - <C,

todos ellos ángulos de valor conocido.

Veamos entonces el problema dado al revés: dado el triángulo A1B1C1, hallar el punto P* que hace que dicho triángulo sea el triángulo pedal de P* con respecto a otro triángulo semejante al triángulo ABC dado. Pues bien, en virtud de lo anteriormente expuesto, el punto P* que resuelve este problema sería el punto de intersección de los arcos capaces: (i) del ángulo 180º-<A con respecto al segmento B1C1, (ii) del ángulo 180º-<B con respecto al segmento A1C1 y (iii) del ángulo 180º-<C con respecto al segmento A1B1.

Una vez resuelto este problema inverso, obtenemos un punto P* en el interior de A1B1C1. La perpendicular a P*B1 por B1 corta a la perpendicular a P*C1 por C1 en un punto A*, la perpendicular a P*A1 por A1 corta a la perpendicular a P*C1 por C1 en un punto B*, y la perpendicular a P*A1 por A1 corta a la perpendicular a P*B1 por B1 en un punto C*, tal que A1B1P1 es el triángulo pedal de P* con respecto al triángulo A*B*C*. Teniendo en cuenta todo lo explicado, el triángulo A*B*C* es semejante a ABC.

Juntándolo todo, este sería el procedimiento para resolver el problema:

1) Obtener el punto P* en el interior del triángulo A1B1C1 en el que se cortan los tres arcos capaces antes mencionados

2) Trazar la perpendicular a P*A1 por A1, la perpendicular a P*A2 por A2 y la perpendicular a P*A3 por A3; estas tres perpendiculares se cortarán dos a dos formando un triángulo A*B*C* que es semejante a ABC

3) Dibujar una recta r que pase por A y forme con AB en ángulo P*A*B*

4) Dibujar otra recta s que pase por B y forme con BC un ángulo P*B*C*, que cortará a la recta r anterior en el punto P que resuelve el problema

[João Risueño Cruz]