recta

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

La media armónica valdrá:

H = 2 / [ (BM · dist(C,AB) / 2) + (DN · dist(C,AD) / 2) ] = 4 / [ BM · dist(C,AB) + DN · dist(C,AD) ] = 4 / [ X · BM+ Y · DN], donde:

X := dist(C,AB), e Y:= dist(C,AD)

Sea E el punto de intersección de la paralela a AB que pasa por C con la recta AD. Por semejanza de triángulos, se tendrá que:

CE / AM = EN / AN

--> CE (DN - AD) = (DN - ED) (AB - BM)

--> BM = AB - CE (DN - AD) / (DN - ED)

Llevando este valor a la fórmula para la media armónica, se tiene que:

H = 4 / { X · [ AB - CE (DN - AD) / (DN - ED) ] + Y · DN }

Derivando con respecto a DN e igualando a 0 para maximizar H, se tiene que:

X · CE · (DN - ED - DN + AD) / (DN - ED)^2 - Y = 0

X · CE · (AD - ED) = Y · (DN - ED)^2

(DN - ED)^2 = (X · CE / Y) · AE

=> DN es igual a ED más la media proporcional entre los segmentos (X · CE / Y) y AE

[João Risueño Cruz]

la media proporcional entre los segmentos (X · CE / Y) y AE


me da (X · CE / Y) = AE