area

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Sea un sistema de coordenadas de centro B, con r2 como eje OX y AB como eje OY. Sean las coordenadas del punto A (0,a). Sean las coordenadas del punto A' (z,0). Los puntos C y D están en la intersección de la mediatriz de AA' con las rectas AB y r1, respectivamente. El punto medio de AA' tendrá coordenadas (z/2,a/2).

La recta AA' vendrá dada por la ecuación y=mx+n. Por pasar por A(0,a) se tiene que n=a, y por pasar por A'(z,0) será: 0=a + m z --> m = -a/z.
Por lo tanto, la mediatriz de AA' tendrá pendiente -1/m=z/a. La ecuación de la mediatriz será y = (z/a)x + n'; como la mediatriz pasa por el punto medio de AA' entonces será: n' = a/2 - (z/a) · z/2 = (a^2-z^2)/(2a). La ecuación de la mediatriz es: 2a · y = 2z· x + a^2 - z^2.

El punto C está situado sobre la recta x=0, luego sus coordenadas serán (0,n')=(0,(a^2-z^2)/(2a)). El punto D está sobre la recta y=a, luego sus coordenadas serán ((a^2+z^2)/(2z),a).

El área del triángulo ACD viene dada por:

S = 2 [a - (a^2-z^2)/(2a)] (a^2+z^2)/(2z) = 2 (a^2+z^2)/(2a) · (a^2+z^2)/(2z) = (a^2+z^2)^2 / (2 a z)

Derivando en función de z e igualando a 0 para minimizar:

8 a z^2 (a^2+z^2) - 2a (a^2+z^2)^2 = 0
4 z^2 = a^2+z^2 --> z = a/raiz(3) [z es el lado de un triángulo equilátero de altura a/2]

Procedimiento:

1) Determinar el punto medio de AB, denominado E

2) Por E, trazar una recta que forme 30º con EB, y que corte a r2 en el punto F

3) Con centro en B, trazar un arco de longitud EF, cortando a r2 en A'

4) La mediatriz de AA' corta a las rectas AB y r1 en los puntos C y D, respectivamente

[João Risueño Cruz]

3) Con centro en B, trazar un arco de longitud BF, cortando a r2 en A'


no entiendo

[apolonio]

Disculpa, quise decir de longitud EF, es decir, la longitud del lado de un triángulo de altura a/2.

[João Risueño Cruz]