tangente

[João Risueño Cruz]

[apolonio]

Si T es el punto de tangencia de la circunferencia con la tangente XY buscada, entonces los triángulos CXT y OXY son semejantes, de donde:

OX / XT = OY / R (R es el radio de la circunferencia)
--> OX^2 R^2 = OY^2 XT^2 = OY^2 (CX^2 - R^2) = OY^2 [(CO + OX)^2 - R^2] = OY^2 (CO^2 + 2 CO OX + OX^2 - R^2)
--> OY^2 = OX^2 R^2 / (CO^2 + 2 CO OX + OX^2 - R^2)

Dos veces el área del triángulo OXY es igual al producto de los catetos:

2S = OX · OY
--> 4S^2 = OX^2 OY^2 = OX^4 R^2 / (2 CO OX + OX^2 + CO^2 - R^2)

Derivando respecto a OX e igualando a cero para minimizar:

4 OX^3 (2 CO OX + OX^2 + CO^2 - R^2) - OX^4 (2 CO + 2 OX) = 8 CO OX^4 + 4 OX^5 + 4 (CO^2 - R^2) OX^3 - 2 CO OX^4 - 2 OX^5 = 2 OX^3 [OX^2 + 3 CO OX + 2 (CO^2 - R^2)] = 0

--> OX^2 + 3 CO OX + 2 (CO^2 - R^2) = 0

Sea U^2 := R^2 - CO^2 y V := raiz(2)·U. La ecuación anterior se puede expresar como:

OX (OX + 3 CO) = V^2

Procedimiento:

1) Dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa R y cateto CO

2) Construir un cuadrado de lado igual al otro cateto del triángulo rectángulo anterior

3) Dibujar una circunferencia de diámetro MN igual a 3 CO

4) Por el extremo M, traza una perpendicular a MN

5) Con centro en M traza un arco de radio igual a la diagonal del cuadrado dibujado en el segundo paso, que corte a la perpendicular anterior en un punto Q

6) Sea P el centro de la circunferencia de diámetro MN; trazar una circunferencia con centro P que pase por Q, que corta a la prolongación de MN (fuera de la circunferencia) en un punto D

7) Con centro en O, traza un arco de radio DM, cortando a la recta OA en el punto X

8 ) Desde X, traza la tangente a la circunferencia para obtener Y

[João Risueño Cruz]