dividir en cuatro
Moderador: vicente
- João Risueño Cruz
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Sea E el punto medio de AB, F el punto medio de BC, G el punto medio de CD y H el punto medio de DA. Según el enunciado:
area(EBFP) = area(FCGP) = area(GDHP) = area(HAEP) = S/4, siendo S el área del cuadrilátero ABCD.
Cada una de las áreas anteriores se puede descomponer en la suma de áreas de dos triángulos:
area(EBP) + area(BFP) = S/4
area(FCP) + area(CGP) = S/4
area(GDP) + area(DHP) = S/4
area(HAP) + area(AEP) = S/4
Por ser E el punto medio de AB será:
area(AEP) = area(EBP) = S1
De la misma forma:
area(BFP) = area(FCP) = S2
area(CGP) = area(GDP) = S3
area(DHP) = area(HAP) = S4
Se tiene entonces que:
area(EBP) + area(BFP) = S/4 = S1 + S2
area(FCP) + area(CGP) = S/4 = S2 + S3
area(GDP) + area(DHP) = S/4 = S3 + S4
area(HAP) + area(AEP) = S/4 = S1 + S4
De las ecuaciones anteriores, se desprende que S1=S3 y S2=S4. Por lo tanto, se tiene que:
area(ABP) = 2 area(AEP) = 2 S1
area(BCP) = 2 area(BFP) = 2 S2
area(CDP) = 2 area(CGP) = 2 S3 = 2 S1
area(DAP) = 2 area(DHP) = 2 S4 = 2 S2
Por otra parte:
area(ABCP) = area(ABP) + area(BCP) = 2 (S1+S2) = S/2
--> area(ABC) + area(ACP) = S/2
--> AC dist(B,AC) + AC dist(P,AC) = AC [dist(B,AC)+dist(D,AC)] / 2
--> dist(P,AC) = [dist(B,AC)+dist(D,AC)] / 2 - dist(B,AC) = [dist(D,AC) - dist(B,AC)] / 2
De forma totalmente equivalente obtendríamos:
dist(P,BD) = [dist(A,BD) - dist(C,BD)] / 2
Resolución:
1) Obtener los valores de los segmentos X := [dist(D,AC) - dist(B,AC)] / 2 e Y:= [dist(A,BD) - dist(C,BD)] / 2
2) Trazar una paralela a AC a la distancia X (acercando hacia el vértice D) y una paralela a BD a la distancia Y (acercando hacia el vértice A); ambas paralelas se cortan en el punto P buscado
area(EBFP) = area(FCGP) = area(GDHP) = area(HAEP) = S/4, siendo S el área del cuadrilátero ABCD.
Cada una de las áreas anteriores se puede descomponer en la suma de áreas de dos triángulos:
area(EBP) + area(BFP) = S/4
area(FCP) + area(CGP) = S/4
area(GDP) + area(DHP) = S/4
area(HAP) + area(AEP) = S/4
Por ser E el punto medio de AB será:
area(AEP) = area(EBP) = S1
De la misma forma:
area(BFP) = area(FCP) = S2
area(CGP) = area(GDP) = S3
area(DHP) = area(HAP) = S4
Se tiene entonces que:
area(EBP) + area(BFP) = S/4 = S1 + S2
area(FCP) + area(CGP) = S/4 = S2 + S3
area(GDP) + area(DHP) = S/4 = S3 + S4
area(HAP) + area(AEP) = S/4 = S1 + S4
De las ecuaciones anteriores, se desprende que S1=S3 y S2=S4. Por lo tanto, se tiene que:
area(ABP) = 2 area(AEP) = 2 S1
area(BCP) = 2 area(BFP) = 2 S2
area(CDP) = 2 area(CGP) = 2 S3 = 2 S1
area(DAP) = 2 area(DHP) = 2 S4 = 2 S2
Por otra parte:
area(ABCP) = area(ABP) + area(BCP) = 2 (S1+S2) = S/2
--> area(ABC) + area(ACP) = S/2
--> AC dist(B,AC) + AC dist(P,AC) = AC [dist(B,AC)+dist(D,AC)] / 2
--> dist(P,AC) = [dist(B,AC)+dist(D,AC)] / 2 - dist(B,AC) = [dist(D,AC) - dist(B,AC)] / 2
De forma totalmente equivalente obtendríamos:
dist(P,BD) = [dist(A,BD) - dist(C,BD)] / 2
Resolución:
1) Obtener los valores de los segmentos X := [dist(D,AC) - dist(B,AC)] / 2 e Y:= [dist(A,BD) - dist(C,BD)] / 2
2) Trazar una paralela a AC a la distancia X (acercando hacia el vértice D) y una paralela a BD a la distancia Y (acercando hacia el vértice A); ambas paralelas se cortan en el punto P buscado
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