centro de una elipse

Cuestiones relativas a los trazados en el plano

Moderador: vicente

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João Risueño Cruz
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centro de una elipse

Mensaje por João Risueño Cruz »

tengo 5 puntos en uma elipse, que construccion se hace para determinar el centro de la elipse?

:(
Muchas Gracias
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apolonio
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Mensaje por apolonio »

Uff, nada sencillo lo que pides. Así a priori, veo dos caminos posibles:

a) Buscar una circunferencia homóloga a la elipse y utilizarla para determinar los ejes de la elipse

b) La recta que une los puntos medios de dos cuerdas paralelas de una elipse pasa por el centro de la misma: utilizar los teoremas de la geometría proyectiva (pascal, brianchon,...) para determinar dos parejas de cuerdas paralelas en la elipse.


== Método a) ==

La forma de obtener una circunferencia homóloga a una elipse definida por 5 puntos ya se discutió en http://www.dibujotecnico.com/foro/viewtopic.php?t=1071. La lástima es que se ha perdido la imágen que ilustraba el proceso; quizás Homología pueda volverla a colgar. Una vez determinado el centro de la homología, pueden determinarse los ejes de la elipse según el procedimiento que se ofrece en el documento del que se habla en dicho post.



== Método b) ==

No sé si será más complicado o más sencillo que el anterior. Si tenemos los cinco puntos ABCDE de la elipse, podemos determinar el punto F en que la paralela a AB que pasa por C corta a la elipse, y el punto G en que la paralela a BC que pasa por D corta a la elipse. La recta que une los puntos medios de AB y FC corta a la recta que une los puntos medios de BC y GD en el centro de la elipse.

Dada una elipse definida por cinco puntos, es bastante fácil determinar el punto de intersección de la elipse por una recta que pase por uno de los cinco puntos, aplicando el teorema de Pascal (http://steiner.math.nthu.edu.tw/ne01/wh ... pascal.htm). Para determinar el punto de intersección F de la elipse con la paralela a AB que pasa por C, utilizando la nomenclatura que aparece en la figura del enlace anterior, podemos hacer la siguiente correspondencia: A=A, B=B, C=C, D=B', E=C', F=A'. Entonces BE corta a CD en el punto R y AE corta a la paralela a AB que pasa por C en el punto Q; la recta QR cortará a AD en el punto P; la recta BP corta a la paralela a AB que pasa por C en el punto F buscado.
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