MÁXIMO RECTÁNGULO INSCRITO

[vicente]

Planteo aquí un ejercicio con el que me tropecé hace años y del que no logré una solución exacta:
"Determinar el máximo rectángulo MNPQ, de lado MN = 40 mm, posible de inscribirse en el rectángulo ABCD. El vértice M está sobre AB y el N sobre el BC.
Se sabe además que AB = 120 mm y BC = 80 mm".

Este ejercicio lo tengo resuelto en un libro de problemas mediante un método aproximado, que de momento no muestro para no condicionaros vuestras ideas, ¡duro con él!

[vicente]

El de ÁREA máxima.

[Trenado]

Bueno segun mis investigaciones, la altura va a ser siempre la misma no?

bueno tambien creo que si hacemos nuestro rectangulo imaginario, pues sus diagonales se cortarian en el centro del otro rectangulo ya que es el centro de simetria de el rectangulo grande y deel pequeño creo que hemos transformado el problema de hallar el triangulo isosceles cuyo vertice es A (que esta en la diagonal), el lado es a=40 cuyos vertices se apoyan esas dos rectas (AB y BC).

Bueno ahora creo que lo que hay que hacer es buscarse la mayor altura del triangulo ya que la formula es b*h/2. Eso es teoria es mas sencillo, a ver si me he equivocado de momento seguire pensando en como resolverlo

[vicente]

Matemáticamente quizá sea el único recurso para este problema, pero mi empeño está en resolverlo gráficamente. Se podría intentar ejecutar de forma gráfica el camino matemático pero lamentablemente no sabría resolver una derivada mediante líneas, a lo más que llego es a la raiz cuadrada.
También le dí vueltas al problema para ver si lo podía enfocar como ejercicio de ordenador, pero tampoco encontré una herramienta CAD que ayude a localizar la solución exacta.
Bueno, si alguen no me pide lo contrario, mañana por la noche colgaré aquí mi solución.

[vicente]

Lo prometido es deuda, aquí tenéis mi solución:
Si alguien encontrase algún día el método gráfico exacto, le agradeceré que lo muestre aquí.

[ignaciopex]

Hola a todos la informacion que han dado me ha servido para un problema arquitectonico que tenia, pero bueno despues d emucho navegar por internet encontre no una opcion grafica viable para lo del rectangulo inscrito en otro, por lo que tuve que descubrir una solucion propia, no se si alguien mas la habra inventado antes, de ser asi no la vi en ninguna parte.
como pueden ver en la imagen le puse la mano a mis conocimientos de geometria lapiz y un poco de logica y salio ese sistema que lo aplique a triangulos de diversos tamanhos con el mismo resultado siempre, al final es encontrar una hipotenuza y mediante una circunferencia de radio la mitad de dicha hipotenuza aparesca el punto del vertice donde convergen ambos catetos. si alguien piensa que esta mal o puede proveer una solucion matematica a esta solucion grafica se los agradeceria. saludos

[vicente]

Siento no compartir tu procedimiento.
Los vértices del rectángulo solución no siempre estarán en divisiones iguales (a/3). Suponte diferentes valores para el lado menor del rectángulo inscrito y verás que esa condición no se cumple.

[ignaciopex]

Bueno a mi me funciono con mas de 10 tipos de rectangulos (de distintas medidas). pero como dije, era una solucion solo logica y ademas cualquier valor de lado es divisible por 3 prueba en autocad dando cualquier valor. yo lo hice por bastante tiempo. pero bueno, para lo que yo necesitaba funciono bastante bien, ya que se puedo decir en base a eso desde donde sale el rectangulo inscrito.

[vicente]

Puedes ver lo que te digo en los dos dibujos que hay anteriores al tuyo y comprobarás que esas distancias no son iguales.
Para que lo veas más claro, suponte que el rectángulo inscrito tuviese el lado menor casi del mismo tamaño que el lado menor del circunscrito. Ahí podrás ver claramente que no se cumple esa equidistancia de a/3.