Hola. Tengo dos ejercicios que no consigo sacar y que gracias a vosotros espero poder hacer.
1º/ Trazar una circunferencia que pase por dos puntos P y Q y corte en puntos diametralmente opuestos a otra circunferencia dada ( los puntos son exteriores a la circunferencia dada ).
2º/ Trazar las circunferencias que tengan su centro en la recta ''r'', pasen por el punto P y corten a la circunferencia ''c'' según una cuerda de 4 cm ( la recta ''r'' es secante a la circunferencia ''c'' y el punto ''P'' es un punto exterior a la circunferencia ''c'' )
Muchas gracias por anticipado. Javier.
2 ejercicios
Moderador: vicente
Hola Javier Madrid:
Ahí llevas una manera de resolver los ejercicios que propones.
Ejercicio 1:
En toda inversión negativa, cualquier circunferencia que pase por una pareja de puntos inversos corta diametralmente a la circunferencia de inversión.
Sean c ( de centro O), P y Q la circunferencia y los puntos dados.
Se puede hacer que O sea el centro de una inversión negativa y la circunferencia c la de inversión.
1)Se encuentra P' inverso de P.
2)Se traza una circunferencia por PP' y Q, la cual cortará diametralmente a la dada.
Ejercicio 2:
Sean la circunferencia c (de centro Q), una recta r que la corta y un punto P exterior a ambas.
1)La circunferencia buscada pasará por P y por su simétrico P' respecto de la recta r. Se encuentra P'.
Por P y P' pasa un haz coaxial de circunferencias.
2)Se trazan dos circunferencias cualesquiera del haz que corten a c y se encuentra el centro radical Cr de las tres.
3)Se dibuja una cuerda de 4 cm en la circunferencia c y una circunferencia concéntrica con esta y tangente a dicha cuerda.
4)Se tira desde Cr una tangente a esta nueva circunferencia. Dicha tangente corta a c según una cuerda de 4 cm.
5)La perpendicular desde el centro Q a dicha cuerda dará el centro Q' de la circunferencia buscada en la recta r.
Solo falta trazarla.
Un saludo y ¡ánimo!
Ahí llevas una manera de resolver los ejercicios que propones.
Ejercicio 1:
En toda inversión negativa, cualquier circunferencia que pase por una pareja de puntos inversos corta diametralmente a la circunferencia de inversión.
Sean c ( de centro O), P y Q la circunferencia y los puntos dados.
Se puede hacer que O sea el centro de una inversión negativa y la circunferencia c la de inversión.
1)Se encuentra P' inverso de P.
2)Se traza una circunferencia por PP' y Q, la cual cortará diametralmente a la dada.
Ejercicio 2:
Sean la circunferencia c (de centro Q), una recta r que la corta y un punto P exterior a ambas.
1)La circunferencia buscada pasará por P y por su simétrico P' respecto de la recta r. Se encuentra P'.
Por P y P' pasa un haz coaxial de circunferencias.
2)Se trazan dos circunferencias cualesquiera del haz que corten a c y se encuentra el centro radical Cr de las tres.
3)Se dibuja una cuerda de 4 cm en la circunferencia c y una circunferencia concéntrica con esta y tangente a dicha cuerda.
4)Se tira desde Cr una tangente a esta nueva circunferencia. Dicha tangente corta a c según una cuerda de 4 cm.
5)La perpendicular desde el centro Q a dicha cuerda dará el centro Q' de la circunferencia buscada en la recta r.
Solo falta trazarla.
Un saludo y ¡ánimo!
-
JavierMadrid
- Novato/a
- Mensajes: 7
- Registrado: Lun Oct 09, 2006 8:27 pm
Javier, en mi opinión es mejor para todos si abres un nuevo post para cada problema. De hecho hubiera estado bien poner los dos problemas que planteabas al principio en post separados y con títulos descriptivos. De esta forma, entre otras cosas es más fácil buscar un post por palabras clave.
En fin, vamos a la resolución del tercer ejercicio:
Dibuja el lado BC que mide a=4cm. El vértice restante A, puede determinarse como la intersección de dos lugares geométricos:
- El arco de rado 2 · mb = 2 · 5cm = 10cm con centro en el punto D. D es el punto situado sobre la recta BC a una distancia de B igual a a=4cm (pero no es C, claro, es el que queda al otro lado de B); y
- La circunferencia de Apolonio del triángulo relativa al lado a. ¿¿Circunferencia de Apolonio?? Sí: el lugar geométrico de los puntos cuya distancias a dos puntos fijos (en este caso B y C) guardan una relación dada (en este caso, 5/3) es una circunferencia, y se denomina circunferencia de apolonio.
La circunferencia de apolonio puede determinarse de varias formas, pero éste es un procedimiento sencillo:
1) Busca un punto A' cualquiera que verifique la relación de distancias CA'/BA' = 5/3 (por ejemplo, donde se corten los arcos de 5 y 3 cm trazados con centro en B y C, respectivamente).
2) Dibuja las bisectrices interior y exterior del ángulo BA'C. Es decir, las rectas BA' y CA' forman dos ángulos al cortarse; hay que trazar las bisectrices de ambos ángulos, que son perpendiculares entre sí. Las bisectrices cortarán a la recta BC en los puntos E y F.
3) La circunferenicia de Apolonio buscada es la que tiene por diámetro el segmento EF.
Por cierto, para entender el primer lugar geométrico, voy a reutilizar esta imagen que ya puse en un post anterior:
Observa que los triángulos DCA y BCMb (Mb es el punto medio de AC) son semejantes, y que las dimensiones del primero son el doble de las del segundo. En el ejercicio al que se refiere esta figura se conocía p, el radio de la circunferencia circunscrita. En esta ocasión, el segundo lugar geométrico es la circunferencia de apolonio en lugar de la cirucunferencia cirucunscrita.
Si te pierdes al dibujar la circunferencia de apolonio, en este enlace tienes bien explicado el procedimiento y con una figura:
http://garciacapitan.auna.com/bella/htm/circapol.htm
En fin, vamos a la resolución del tercer ejercicio:
Dibuja el lado BC que mide a=4cm. El vértice restante A, puede determinarse como la intersección de dos lugares geométricos:
- El arco de rado 2 · mb = 2 · 5cm = 10cm con centro en el punto D. D es el punto situado sobre la recta BC a una distancia de B igual a a=4cm (pero no es C, claro, es el que queda al otro lado de B); y
- La circunferencia de Apolonio del triángulo relativa al lado a. ¿¿Circunferencia de Apolonio?? Sí: el lugar geométrico de los puntos cuya distancias a dos puntos fijos (en este caso B y C) guardan una relación dada (en este caso, 5/3) es una circunferencia, y se denomina circunferencia de apolonio.
La circunferencia de apolonio puede determinarse de varias formas, pero éste es un procedimiento sencillo:
1) Busca un punto A' cualquiera que verifique la relación de distancias CA'/BA' = 5/3 (por ejemplo, donde se corten los arcos de 5 y 3 cm trazados con centro en B y C, respectivamente).
2) Dibuja las bisectrices interior y exterior del ángulo BA'C. Es decir, las rectas BA' y CA' forman dos ángulos al cortarse; hay que trazar las bisectrices de ambos ángulos, que son perpendiculares entre sí. Las bisectrices cortarán a la recta BC en los puntos E y F.
3) La circunferenicia de Apolonio buscada es la que tiene por diámetro el segmento EF.
Por cierto, para entender el primer lugar geométrico, voy a reutilizar esta imagen que ya puse en un post anterior:
Observa que los triángulos DCA y BCMb (Mb es el punto medio de AC) son semejantes, y que las dimensiones del primero son el doble de las del segundo. En el ejercicio al que se refiere esta figura se conocía p, el radio de la circunferencia circunscrita. En esta ocasión, el segundo lugar geométrico es la circunferencia de apolonio en lugar de la cirucunferencia cirucunscrita.
Si te pierdes al dibujar la circunferencia de apolonio, en este enlace tienes bien explicado el procedimiento y con una figura:
http://garciacapitan.auna.com/bella/htm/circapol.htm