3 problemas de parabolas

Cuestiones sobre Dibujo Técnico en esta Carrera

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elenanito
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3 problemas de parabolas

Mensaje por elenanito »

nose resolver estos tres problemas de parabolas el tercero no tng ni idea de como empezar:
I) Hallar los elementos de la parabola conocidos la directriz d,una tangente t, el punto de interseccion V entre ambas , y el punto P de la parabola, siendo PP´=25mm, P´V=35mm y el angulo entre d y t de 60º

II) Hallar los elementos de la parabola, dada la directriz d, que se corta con las tangentes t y t´en V y V´respectivamente, siendo el ángulo tt´=60º, y dado HV=HV´=40mm
supongo que los dos primeros son faciles pero no se hacerlos

III) Dada la cuerda MN=70mm y la flecha AD=50mm, de un segmento parabolico, dibujarlo.
Muchas gracias por las molestias
elenanito
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Trenado
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Mensaje por Trenado »

el tercero tengo base teorica que puede servirte.

Digamos que la flecha debe tener un extremo apoyado en el segmento dado. Mientras el otro extremo se dibujará una circunferencia de radio desconconocido que cumple: Pasa por el foco y es tangente a la directriz.

Por cada extremo del segmento dado debe ser centro de otras 2 circunferencias que pasen por el foco y tangente a la directiz, no tiene porque tener el mismo radio.

de esta forma no se si se mejora el caso pero me da la impresion que matematicamente se podria resolver aunque se que algo me falta todavia.

Espero haber sido de ayuda
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apolonio
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Mensaje por apolonio »

Voy a suponer en el primer ejercicio que P' es la proyección ortogonal de P sobre la directriz, de manera que tienes perfectamente definida la posición relativa de la directriz, la recta tangente y el punto P.

Si esto es así, el ejercicio se reduce a encontrar el foco de la parábola, que se hallará como la intersección de dos lugares geométricos:

1) La circunferencia con centro en P y radio igual a la distancia de P a la recta directriz (en este caso es la distancia PP' = 25mm) (este lugar geométrico se obtiene aplicando la propia definición de parábola), y

2) La recta simétrica de la directriz con respecto a la tangente (pasa por V y forma 60º con la tangente) (se sabe que el simétrico del foco con respecto a cualquier tangente está situado sobre la directriz de la parábola, propiedad que puede enunciarse al revés: la recta simétrica de la directriz respecto de cualquier tangente pasa por el foco).
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apolonio
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Mensaje por apolonio »

Con el segundo problema me voy a arriesgar y voy a suponer que H es el punto donde se cruzan las dos tangentes, de manera que puedes dibujar las dos tangentes formando un ángulo de 60º y determinar sobre ellas los puntos V y V' que distan 40mm de H, quedando definida así la directriz de la parábola. (Para la próxima vez, procura explicar bien qué es cada cosa para que no haya que hacer tantas conjeturas).

Como en el primer problema, el foco de la parábola estará en la intersección de las rectas simétricas de la directriz respecto de cada una de las tangentes. (Por la simetría del problema el eje de la parábola va a ser la perpendicular a la directriz que pasa por H, que también es la mediatriz del segmento VV'; con esto te puedes ahorrar hacer una de las rectas simétricas, ya que el foco debe estar en el eje de la parábola)

También puedes determinar el vértice de la parábola, que será el punto medio entre el foco y la proyección perpendicular del foco sobre la directriz.
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apolonio
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Mensaje por apolonio »

El tercer problema supongo que no se podrá resolver para un segmento parabólico genérico, pues en todo caso conoceríamos 3 puntos de la parábola: M, N y A que son insuficientes para definirla (se necesitan 5 puntos para definir una cónica).

Sí puede resolverse si suponemos que el segmento parabólico es simétrico (los puntos M y N son simétricos respecto al eje de simetría de la parábola). En este caso el eje de la parábola será la mediatriz de MN, D será el punto medio de MN y A será el vértice de la parábola.

Si d es la distancia del punto M (ó N) a la directriz (igual a la distancia al foco F) y c es el valor de la semicuerda (c = MN/2), entonces el triángulo MDF es rectángulo en D, de forma que DF^2 = d^2 - c^2.

Por otra parte, si P es el punto donde el eje de la parábola corta a la directriz, se tiene qe PA = AF = AD - FD. Y como d = PD = PA + AD = 2·AD - DF, donde AD es el valor de la flecha del arco. Esta ecuación se simplifica así:

d = 2·AD - (d^2 - c^2)^(1/2)
d^2 - c^2 = (2·AD - d)^2 = 4·AD^2 - 2·AD·d + d^2
2·AD·d = c^2 + (2·AD)^2

En la ecuación anterior se conoce la flecha AD y la semicuerda c y la incógnita a determinar es d. Ésta puede hallarse gráficamente de varias formas. Voy a proponer 2:

Primera forma (aplicando el concepto de potencia):

2·AD·d = x ^2,

donde x es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tenga por catetos c y 2·AD.

Se dibuja una circunferencia cualquiera y se traza una tangente a la misma de longitud x. Con centro en el extremo libre de la tangente se traza una circunferencia de radio 2·AD, que cortará a la circunferencia inicial en el punto P. Se une el extremo libre de la tangente con P, resultando a la recta que corta a la circunferencia en otro punto Q, tal que la distancia desde el extremo libre de la tangente hasta Q es la magnitud d que buscamos

Segunda forma (construcción gráfica de la cuarta proporcional):

d = 2·AD + x, con x = c^2 / 2·AD --> x / c = c / 2·AD

y se determina x resolviendo gráficamente la cuarta proporcional

Una vez determinada la magnitud d, la directriz de la parábola será la paralela al segmento MN a una distancia d del mismo y el foco será el punto de la mediatriz de MN que está a una distancia de M igual a d.
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