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Problemas con una tangencia

Cuestiones relativas a los trazados en el plano

Moderador: vicente

Problemas con una tangencia

Notapor bardok » Jue Oct 19, 2006 9:20 pm

Hola!
Tengo una duda, supongamos dos rectas que se cortan, una circunferencia tangente a ellas es un proceso un poco labioroso, pero si dentro del area de las rectas tenemos una circunferencia como podemos hacer una circunferencia que sea tangente a esa circunferencia y tangente a ambas rectas?
Un saludo :wink:
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Notapor apolonio » Vie Oct 20, 2006 9:45 am

Imagen

Observa en la figura que el problema de la circunferencia tangente a otra circunferencia y a dos rectas (en negro) se parece mucho al problema de una circunferencia tangente a dos rectas que pasa por un punto (en rojo). Las circunferencias solución de ambos problemas (en la figura sólo he pintado una de las dos soluciones) tienen los mismos centros.

Por lo tanto, el caso de tangencias RRC (recta-recta-circunferencia) se reduce al caso de tangencias PRR (punto-recta-recta) sin más que trazar paralelas a ambas rectas a una distancia igual al radio de la circunferencia dato y considerar como nuevo sistema el formado por las dos paralelas y el centro de la circunferencia dato. Resuelto este problema auxiliar, la solución del problema son circunferencias que tienen el mismo centro que las que hayan resultado de resolver el caso de tangencia previo.

Este tipo de "reducción" de un caso de tangencia a otro se conoce habitualmente como "resolución por dilatación" y se puede aplicar siempre que de los 3 elementos que definen el problema al menos uno sea una circunferencia y ninguno sea un punto. Tenemos por lo tanto los siguientes problemas casi equivalentes:

RRC --> PRR
RCC --> PRC
CCC --> PCC
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Notapor apolonio » Vie Oct 20, 2006 9:59 am

Por cierto, dadas dos rectas que se cortan una circunferencia tangente a ambas es cualquiera cuyo centro esté en la bisectriz del ángulo que forman ambas rectas. La resolución del problema se reduce a trazar 3 arcos, una recta y una perpendicular; no veo cómo puedes decir que este proceso es laborioso, pocos problemas hay más simples que éste.
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Notapor bardok » Vie Oct 20, 2006 5:27 pm

hola!
Apolonio entonces en el nuevo sistema, tomo el centro de la circunferencia como punto y lo resuelvo como si se tratase de circunferencia tangente a recta, recta y punto no?
Un abrazo
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Notapor apolonio » Vie Oct 20, 2006 5:36 pm

Eso es. Además ten en cuenta que las paralelas a las rectas se pueden trazar "hacia fuera del ángulo" pero también "hacia dentro"; te saldrán así más soluciones. Esto se debe a que la circunferencia solución también puede ser tangente interior a la circunferencia dada. Por lo tanto, en el sistema equivalente la nueva circunferencia solución tiene un radio menor que la circunferencia solución del nuevo sistema, con lo que las paralelas tienen que estar más cerca de la circunferencia dada.
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Notapor bardok » Vie Oct 20, 2006 5:52 pm

hola!
Pues lo acabo de hacer como me has comentado tomando el centro de la circunferencia como punto y me sigue dando tangente a las rectas pero no a la circunferencia, es mas a esta circunferencia me la corta.
¿A que puede ser debido?
Última edición por bardok el Vie Oct 20, 2006 6:20 pm, editado 1 vez en total
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Notapor apolonio » Vie Oct 20, 2006 6:13 pm

¿Has trazado las paralelas a una distancia de las que te daban igual al radio de la circunferencia dato? Para trazar una paralela a esta distancia tienes que trazar primero una perpendicular a la recta y sobre la perpendicular llevar la distancia del radio
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Notapor bardok » Vie Oct 20, 2006 6:22 pm

si lo he hecho.
¿La circunferencia la tengo que dibujar en el primer sistema verdad y no el segundo no?
Le estoy dando vueltas y no encuentro el error :?
He sacado el simetrico del centro de la circunferencia a la que tiene que ser tangente,respecto a la bisectriz y luego he aplicado el procesor pero nada
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Notapor apolonio » Vie Oct 20, 2006 6:27 pm

A ver, los pasos son los siguientes:

- Trazas las paralelas.

- Encontrar las circunferencias que son tangentes a las paralelas anteriores y que pasan por el centro de la circunferencia dato.

- Los centros de las circunferencias antes halladas son también los centros de las circunferencias que son solución del problema original. Por lo tanto, desde estos centros traza perpendiculares a las rectas para ver cuales son los puntos de tangencia sobre las rectas originales (también puedes unir estos centros con el centro de la circunferencia dato para ver cuál es el punto de tangencia sobre ésta). Sabiendo los puntos de tangencia ya puedes trazar la circunferencia solución.

- Repite el proceso pero ahora en lugar de trazar las paralelas alejándote de la circunferencia dato, trázalas acercándote a ella. Así podras obtener más soluciones.
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Notapor bardok » Vie Oct 20, 2006 6:46 pm

apolonio escribió:A ver, los pasos son los siguientes:

- Trazas las paralelas.

- Encontrar las circunferencias que son tangentes a las paralelas anteriores y que pasan por el centro de la circunferencia dato.

- Los centros de las circunferencias antes halladas son también los centros de las circunferencias que son solución del problema original. Por lo tanto, desde estos centros traza perpendiculares a las rectas para ver cuales son los puntos de tangencia sobre las rectas originales (también puedes unir estos centros con el centro de la circunferencia dato para ver cuál es el punto de tangencia sobre ésta). Sabiendo los puntos de tangencia ya puedes trazar la circunferencia solución.

- Repite el proceso pero ahora en lugar de trazar las paralelas alejándote de la circunferencia dato, trázalas acercándote a ella. Así podras obtener más soluciones.


voy a ello apolonio ahora te comento :wink:
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Notapor bardok » Vie Oct 20, 2006 6:56 pm

nada apolonio :(
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Notapor bardok » Vie Oct 20, 2006 7:42 pm

Mira apolonio te expongo aqui todo lo que me sucede:

Te expongo primero el ejercicio y luego el proceso que sigo recta, punto, punto

Imagen

El proceso no esta completo en la imagen, tras acabar esos pasos realizo un semicircunferencia con centro en q y radio qt que corta en l´ y en dos puntos de tangencia a partir de los cuales levanto perpendiculares y encuentro dos centros, a a partir de esos centros traxo perpendiculares a la otra recta y obtengo los otros puntos.

(Antes ya he realizado las paralelas)
Pues bien,las circunferencias que hago no son tangentes a la que deben de ser, si me pasan por su centro pero me la cortan.
Y una de las dos se me va pero una barbaridad del papel, siendome imposible dibujarla entera ella.


Un abrazo :wink:
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Notapor pacodib » Sab Oct 21, 2006 12:56 pm

1.- Bisectriz de r y s(l.g. del centro que buscas)
2.- Simetrico del Punto O respecto a la bisectriz obtienes O1
3.- DILATACION de dist r = 25 ( mitad del diametro) en la rectas r y s y en la circ para dejarla en un punto O
4.- Dibuja una circunferencia cualquiera de centro en la bisectriz y radio hasta O
5.- Intersección de //r (dilatación de r) con recta O, O1 obtienes el centro radical (int de ejes radicales r y O-O1)
6.- Por arco capaz de 90º (semicircunferencia) entre centro radical (c.r.) y la circ hallada en 4 obtienes T en la intersección de arco capaz y circ
7.- Centro en c.r. y radio hasta T, CIRC y hallo en //r dos T soluciones
8,. Por estas T sol y _/_ a r (radio _/_ tg) obt O sol en la bisectriz.
9.- Unir O sol. con O y obtengo T en la circ Dato
10 dib las soluciones
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Notapor bardok » Sab Oct 21, 2006 5:49 pm

pacodib escribió:1.- Bisectriz de r y s(l.g. del centro que buscas)
2.- Simetrico del Punto O respecto a la bisectriz obtienes O1
3.- DILATACION de dist r = 25 ( mitad del diametro) en la rectas r y s y en la circ para dejarla en un punto O
4.- Dibuja una circunferencia cualquiera de centro en la bisectriz y radio hasta O
5.- Intersección de //r (dilatación de r) con recta O, O1 obtienes el centro radical (int de ejes radicales r y O-O1)
6.- Por arco capaz de 90º (semicircunferencia) entre centro radical (c.r.) y la circ hallada en 4 obtienes T en la intersección de arco capaz y circ
7.- Centro en c.r. y radio hasta T, CIRC y hallo en //r dos T soluciones
8,. Por estas T sol y _/_ a r (radio _/_ tg) obt O sol en la bisectriz.
9.- Unir O sol. con O y obtengo T en la circ Dato
10 dib las soluciones


Voy a probar :wink:
Otra cosa mas, la recta s la puedo realizar horizontal y la r con un angulo de 60 respecto a esa?
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Notapor bardok » Sab Oct 21, 2006 6:18 pm

Vale lo tengo, y una de ellas me sale inmensa jeje, me veo obliagado ha realizarlo en un A3 y solo me cabe esa pieza en un A3 :?
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