Tangentes a la hipérbola

[dvdvega]

En un examen de selectividad de Castilla y León del año 2005, apareció un ejercicio en el que se pedía dibujar las tangentes a una hipérbola desde el centro O (punto de intersección de los dos ejes).
Yo lo he resuelto como el trazado de las dos asíntotas aplicando el método para obtener las tangentes a la hipérbola desde un punto exterior, pero en el enunciado también piden determinar los puntos de tangencia y obviamente los puntos de tangencia con las asíntotas están en el infinito. ¿He realizado mal el ejercicio? ¿Hay otra forma de resolverlo?

Muchas gracias y un saludo para todos

[apolonio]

En principio parece que lo que te piden es, en efecto, trazar las asíntotas de la hipérbola. Como bien dices, los puntos de tangencia están situados en el infinito del plano, lo cual suele indicarse con una flecha señalando en la dirección del infinito en que se encuentran (en la dirección de las asíntotas, vaya).

Para trazar las asíntotas de una hipérbola definida por su eje real y sus focos no hace falta recurrir al método general de trazado de tangentes desde un punto exterior; en este caso basta con dibujar la circunferencia de centro O que pasa por los focos y las rectas perpendiculares al eje real que pasan por los vértices de la parábola; las asíntotas son las rectas que unen O con los puntos de corte de las perpendiculares con la circunfencia.

Si nos pasas el enunciado exacto del problema igual podemos concretar algo más, sobre todo por saber de qué datos dispones y qué piden exactamente.

[dvdvega]

En esta imagen puedes ver el enunciado y la situación de los datos para el ejercicio.

[img]http://www.dibujotecnico.com/public/subir/ficheros/Tangentes%20a%20la%20hipérbola%20desde%20el%20centro.gif[/img]

Gracias por aclarar mi duda.
Un saludo[/img]

[apolonio]

[img]http://www.dibujotecnico.com/public/subir/ficheros/Tangentes%20a%20la%20hipérbola%20desde%20el%20centro.gif[/img]

[apolonio]

Pues sí, el procedimiento dado es correcto. Lo primero que hay que darse cuenta de que la cónica de que se habla es una hipérbola. La parábola no tiene un "centro" propiamente dicho, y a la elipse no pueden trazarse tangentes desde el centro, pues éste queda en el interior de la curva. Así pues, tenemos que trazar las tangentes a la hipérbola desde el centro, que como bien dices son sus asíntotas (los puntos de tangencia van a estar en el infinito). Para trazar las asíntotas:

1) Traza una circunferencia de centro O y radio igual a la mitad del radio de la circunferencia focal, que corta a la recta FF' en los dos vértices de la hipérbola A y A'

2) Traza la circunferencia de centro O que pasa por F y F'

3) Traza perpendiculares a FF' por los vértices A y A'; dichas perpendiculares cortan a la circunferencia anterior en puntos que unidos entre sí diagonalmente son las asíntotas de la hipérbola y queda resuelto el ejercicio

[dvdvega]

Realmente eres un fenómeno apolonio.
La rapidez de tu respuesta me deja impresionado.

Mil gracias y hasta pronto