Dado un triangulo equilátero ABC en una homología de vértice V, con el homólogo del punto A, A' sobre C y de manera que las dos rectas límites estén confundidadas( homología involutiva) y pasen por B; se pide hallar la figura homóloga.
HOMOLOGIA. AYUDA
Moderador: vicente
HOMOLOGIA. AYUDA
Es la primera vez qe entro. Me ayudais con esto
Dado un triangulo equilátero ABC en una homología de vértice V, con el homólogo del punto A, A' sobre C y de manera que las dos rectas límites estén confundidadas( homología involutiva) y pasen por B; se pide hallar la figura homóloga.
Dado un triangulo equilátero ABC en una homología de vértice V, con el homólogo del punto A, A' sobre C y de manera que las dos rectas límites estén confundidadas( homología involutiva) y pasen por B; se pide hallar la figura homóloga.
Por lo que yo he deducido el punto C' coincide con A (debe ser porque la homología es involutiva, pero no sé cómo justificarlo en un caso general). Entonces, como B es un punto de la recta límite su homólogo B' estará situado en el infinito en la dirección dada por el segmento VB. Así pues, no tienes más que trazar paralelas a BV pasando por A' (coincidente con C) y C' (coincidente con A), y estos serán los lados A'B' y C'B', respectivamente.
Para deducir que el punto C' coincide con A yo he hecho las siguientes operaciones:
1) Trazo la recta A'B', que ha de ser paralela al segmento VB, pasando por A'=C
2) La recta A'B' corta a la recta AB en el punto doble del eje P=P'
3) Por otra parte, en toda homología involutiva para todo punto A si la recta doble AA' corta al eje en el punto doble Q=Q', entonces los puntos VAQA' forman una cuaterna armónica. Esto permite hallar la posición exacta del punto Q=Q'.
4) El eje de homología será la recta que une los dos puntos dobles P=P' y Q=Q' obtenidos hasta ahora
5) La recta BC corta al eje en el punto doble R=R'
6) El lado B'C' será la paralela al segmento VB pasando por el punto doble R=R'
7) La paralela anterior corta a la recta VC en el punto C', que coincide con el punto A, aunque desconozco la razón
También he dibujado las rectas límite para observar que son paralelas al eje y a igual distancia del vértice que del eje (esto es una propiedad de las homologías involutivas).
Para deducir que el punto C' coincide con A yo he hecho las siguientes operaciones:
1) Trazo la recta A'B', que ha de ser paralela al segmento VB, pasando por A'=C
2) La recta A'B' corta a la recta AB en el punto doble del eje P=P'
3) Por otra parte, en toda homología involutiva para todo punto A si la recta doble AA' corta al eje en el punto doble Q=Q', entonces los puntos VAQA' forman una cuaterna armónica. Esto permite hallar la posición exacta del punto Q=Q'.
4) El eje de homología será la recta que une los dos puntos dobles P=P' y Q=Q' obtenidos hasta ahora
5) La recta BC corta al eje en el punto doble R=R'
6) El lado B'C' será la paralela al segmento VB pasando por el punto doble R=R'
7) La paralela anterior corta a la recta VC en el punto C', que coincide con el punto A, aunque desconozco la razón
También he dibujado las rectas límite para observar que son paralelas al eje y a igual distancia del vértice que del eje (esto es una propiedad de las homologías involutivas).
Hola amigos:
Apolonio, eso es por definición. Una transformación geométrica se dice que es involutiva cuando los puntos de una figura se corresponden doblemente con los de la otra.
Si A de la 1ª figura y A' de la 2ª se corresponden y otro punto B de la 1ª es coincidente con A' y su transformado B' es coincidente con A, los puntos, como ves, se corresponden dos veces, entonces la transformación se dice que es involutiva y recíprocamente. De ahí que una homología que tiene sus rectas límite coincidentes sea involutiva, por tanto si A y C' coinciden también lo harán A' y C.
Las simetrias, por ejemplo, son siempre involutivas, pero la traslación no.
Saludos y ¡ánimo!
Apolonio, eso es por definición. Una transformación geométrica se dice que es involutiva cuando los puntos de una figura se corresponden doblemente con los de la otra.
Si A de la 1ª figura y A' de la 2ª se corresponden y otro punto B de la 1ª es coincidente con A' y su transformado B' es coincidente con A, los puntos, como ves, se corresponden dos veces, entonces la transformación se dice que es involutiva y recíprocamente. De ahí que una homología que tiene sus rectas límite coincidentes sea involutiva, por tanto si A y C' coinciden también lo harán A' y C.
Las simetrias, por ejemplo, son siempre involutivas, pero la traslación no.
Saludos y ¡ánimo!