HOMOLOGIA. AYUDA

Cuestiones sobre Dibujo Técnico en Bachillerato

Moderador: vicente

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Elich
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HOMOLOGIA. AYUDA

Mensaje por Elich »

Es la primera vez qe entro. Me ayudais con esto

Dado un triangulo equilátero ABC en una homología de vértice V, con el homólogo del punto A, A' sobre C y de manera que las dos rectas límites estén confundidadas( homología involutiva) y pasen por B; se pide hallar la figura homóloga.

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apolonio
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Mensaje por apolonio »

Por lo que yo he deducido el punto C' coincide con A (debe ser porque la homología es involutiva, pero no sé cómo justificarlo en un caso general). Entonces, como B es un punto de la recta límite su homólogo B' estará situado en el infinito en la dirección dada por el segmento VB. Así pues, no tienes más que trazar paralelas a BV pasando por A' (coincidente con C) y C' (coincidente con A), y estos serán los lados A'B' y C'B', respectivamente.

Para deducir que el punto C' coincide con A yo he hecho las siguientes operaciones:

1) Trazo la recta A'B', que ha de ser paralela al segmento VB, pasando por A'=C

2) La recta A'B' corta a la recta AB en el punto doble del eje P=P'

3) Por otra parte, en toda homología involutiva para todo punto A si la recta doble AA' corta al eje en el punto doble Q=Q', entonces los puntos VAQA' forman una cuaterna armónica. Esto permite hallar la posición exacta del punto Q=Q'.

4) El eje de homología será la recta que une los dos puntos dobles P=P' y Q=Q' obtenidos hasta ahora

5) La recta BC corta al eje en el punto doble R=R'

6) El lado B'C' será la paralela al segmento VB pasando por el punto doble R=R'

7) La paralela anterior corta a la recta VC en el punto C', que coincide con el punto A, aunque desconozco la razón

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También he dibujado las rectas límite para observar que son paralelas al eje y a igual distancia del vértice que del eje (esto es una propiedad de las homologías involutivas).
Elich
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Mensaje por Elich »

Muchas gracias
Garicuper
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Mensaje por Garicuper »

Hola amigos:

Apolonio, eso es por definición. Una transformación geométrica se dice que es involutiva cuando los puntos de una figura se corresponden doblemente con los de la otra.
Si A de la 1ª figura y A' de la 2ª se corresponden y otro punto B de la 1ª es coincidente con A' y su transformado B' es coincidente con A, los puntos, como ves, se corresponden dos veces, entonces la transformación se dice que es involutiva y recíprocamente. De ahí que una homología que tiene sus rectas límite coincidentes sea involutiva, por tanto si A y C' coinciden también lo harán A' y C.
Las simetrias, por ejemplo, son siempre involutivas, pero la traslación no.

Saludos y ¡ánimo!
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