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Temas relacionados con el ejercicio de la actidad docente

Moderador: vicente

homologia

Notapor Estella » Lun Ene 22, 2007 2:23 pm

Por favor, alguien me podría explicar de forma muy clarita en lo que consiste la Homología?
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Notapor apolonio » Lun Ene 22, 2007 6:37 pm

Desde mi punto de vista lo más sencillo es entender la homología como una transformación en el plano (una transformación es una ley que nos lleva unos puntos del plano a otros), con dos reglas básicas:

1) Toda pareja de puntos homólogos está siempre alineada con un punto fijo del plano que se denomina centro de la homología.

2) Toda pareja de rectas homólogas es concurrente (se cortan en el mismo punto) con una recta fija del plano que se denomina eje de homología.

Dados un centro y un eje de homología existen infinitas homologías posibles, así que se necesita un tercer dato para definirla unívocamente (normalmente una pareja de puntos homólogos o una de las rectas límite).

Existen otras definiciones de la homología que manejan conceptos de proyectividad, pero yo creo que la definición más simple es la homología como una transformación sujeta a un par de leyes.
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Homologia

Notapor Estella » Lun Ene 22, 2007 11:47 pm

Muchas gracias, pero no estoy de acuerdo con eso que dices en el punto 2: "2) Toda pareja de rectas homólogas es concurrente (se cortan en el mismo punto) con una recta fija del plano que se denomina eje de homología. Toda pareja de rectas homólogas es concurrente (se cortan en el mismo punto) con una recta fija del plano que se denomina eje de homología."

Porque a mi parecer, el EJE no es lo mismo qla recta donde concurren las dos rectas homólogas de la homología como dices tu.

Creo que el Eje es la concurrencia de los planos, que puede ser propio (caso de una homologia) o impropio (caso de una homotecia) asi que no me queda claro la posible diferencia entre Eje y esa recta que tu denominas eje.

yo distingo entre;eje de homología,rectas homólogas, centro o vértice de homología, y par de puntos homólogos.
Me lo podrías explicar mejor? o alguien me lo podría explicar mejor?
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Notapor apolonio » Mar Ene 23, 2007 11:05 am

Si ves la homología como una transformación en el plano, el eje no es más que la recta de puntos dobles, donde concurren, por lo tanto, todas las parejas de rectas homólogas. Naturalmente, el eje puede ser impropio, y entonces las rectas homólogas son paralelas.

Si entiendes que el eje de homología es la intersección de dos planos, entonces estás viendo la homología en el espacio, y deberías definir la homología algo así como la relación entre las secciones que produce una radiación de rectas sobre dos planos en el espacio.
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Homologia en el espacio

Notapor Estella » Mié Ene 24, 2007 12:06 am

Es cierto, yo estaba viendo la homología en el espacio, entonces, si es como tu dices.
Ya tengo claro que en plano, el eje sería la recta de puntos dobles, muchas gracias.
Ahora lo que quisiera saber es ?como puedo hallar el centro de homología y las rectas límites teniendo sólamente como dato un cuadrilátero cualquiera ABCD?
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Notapor apolonio » Mié Ene 24, 2007 11:52 am

Supongo que te refieres a ejercicios del estilo: "Hallar la homología que transforma un cuadrilátero ABCD dado en...". Todo depende de los datos que te den sobre la figura homóloga del cuadrilátero.

Un ejemplo: "Hallar la homología que transforma en cuadrilátero ABCD dado en un cuadrado tal que la recta soporte del lado A'B' pase por un punto X' dado"

Comenzamos haciendo las siguientes consideraciones:

Los lados A'B' y C'D' del cuadrado homólogo han de ser paralelos entre sí, de forma que los lados AB y CD del cuadrilátero dado se cortarán en un punto P que pertenece a la recta límite. De la misma forma, los lados BC y AD del cuadrilátero se cortan en otro punto Q de la recta límite. La recta PQ es, por tanto, la recta límite de la homología buscada (ya tenemos un elemento!!).

Si O es el centro de homotecia que aún no conocemos, sabemos que la recta OP es paralela a los lados A'B' y C'D' del cuadrado homólogo, mientras que la recta OQ es paralela a los lados A'D' y B'C' del cuadrado homólogo. En particular, las rectas OP y OQ han de ser ortogonales o, lo que es lo mismo, el centro de homología O estará situado en el arco capaz de 90º respecto del segmento PQ.

De la misma forma, la diagonal AC del cuadrilátero cortará a la recta límite en un punto M, de forma que OM es paralela a la diagonal A'C' del cuadrado. Por su parte, la diagonal BD del cuadrilátero corta a la recta límite en N y la recta ON tiene que ser paralela a la diagonal B'D' del cuadrado. Como A'C' y B'D' son diagonales de un cuadrado, serán perpendiculares, siéndolo también las rectas OM y ON, con lo que el centro de homología O estará también situado en el arco capaz de 90º respecto al segmento MN. La intersección de ambos arcos capaces (2 puntos) nos da las dos posibles posiciones del centro de homología O (¡¡bien, ya tenemos otro elemento determinado, sólo nos falta el eje de homología!!).

Utilizamos ahora el dato del punto X' dado. Sabemos que X' está en la recta A'B', con lo cual su homólogo X estará en la inteersección de la recta OX con la recta AB.

Por otra parte, como conocemos la dirección de la recta A'B' (es paralela a OP), trazamos la paralela a esta dirección que pasa por X'. Esta paralela cortará a la recta AB en un punto doble R=R' que pertenece al eje de homología.

Lo mismo se puede hacer, por ejemplo, con la recta CX. Se prolonga esta recta hasta cortar a la recta límite en un punto T tal que OT nos da la dirección de la recta homóloga C'X'. Se traza una paralela a OT por X'. La intersección de esta paralela con la recta CX es otro punto doble S=S' que también pertenece al eje de homología. El eje de homología es la recta de puntos dobles que une los puntos dobles R=R y S=S', quedando la homología totalmente definida.

Esto es sólo un ejemplo de los ejercicios que puedes encontrar, pero más o menos puedes hacerte una idea de cómo resolverlos. En general hay que tener en cuenta que si los lados de la figura homóloga son paralelos, entonces los lados de la figura dada van a concurrir sobre la recta límite. También suele ser útil la forma que se ha empleado para determinar el centro de homología mediante la intersección de dos arcos capaces, al saber el ángulo que forman los lados y también el ángulo que forman las diagonales.
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Homologia

Notapor Estella » Lun Feb 05, 2007 12:25 pm

Necesito un favor.......tengo un ejercicio que no consigo dar con el...me podrías ayudar?

el ejercicio es el siguiente:

Se trata de hallar una homología.

el enunciado dice lo siguiente:

1) Sea la homología definida por centro O, el eje e y la recta límite RL.
Construye la figura homóloga del cuadrilátero ABCD

Entonces me dan una recta límite, un eje por debajo de la recta límite, el centro O de homología me lo sitúan en nedio de ambas y me situan el cuadrilátero con un punto B que está en el EJE dado.

Por favor, puedes ayudarme?
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Notapor apolonio » Lun Feb 05, 2007 12:47 pm

Prolonga los lados AB y BC uy la diagonal BD hasta cortar a la recta límite en los puntos P, Q y R respectivamente. Por las propiedades de la recta límite se tiene que OP es la dirección del lado A'B', OQ es la dirección del lado B'C' y OR es la dirección de la diagonal B'D'.

Como B=B' es un punto doble (está en el eje), la paralela a OP que pasa por B cortará a la recta OA en el punto A'. De la misma forma, la paralela a OQ que pasa por B corta a OC en C' y la paralela a OR que pasa por B corta a OD en D'.
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Problema de homología

Notapor Neice » Vie Nov 16, 2007 7:42 pm

He estado leyendo los mensajes anteriores, pero no consigo dar con la solución a este otro problema de homología. Os lo planteo: "Hallar la homología que transforme una figura ABCD en un cuadrado de lado dado A'B'=70mm"
(ABCD forman una figura cuadrilátera pero no un cuadrado)

A ver si me podéis echar una mano
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Notapor Neice » Dom Nov 18, 2007 2:49 pm

Venga una ayudita para el ejercicio de homología de antes. Nadie sabría resolverlo? No le encuentro solución por ningún lado
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Notapor vicente » Dom Nov 18, 2007 7:39 pm

Aquí lo tienes explicado y dibujado por M. Palancar.
Lo único que te añado es que el último paso de encajar el cuadrado de 70 mm de lado lo hagas mediante la traslación de uno de sus lados desde el centro de homología O.
Adjuntos
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Notapor Neice » Jue Nov 22, 2007 5:04 pm

Muchas gracias, de maravilla! Genial la respuesta, no deja lugar a dudas.
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Re: homologia

Notapor mipitusi » Lun Oct 08, 2012 4:31 pm

Hola! pues yo no veo cómo saca el eje y el centro de homología, si me pudiéseis ayudar...
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