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Apolonios

Todo lo referente a la preparación de estas pruebas

Moderador: vicente

Apolonios

Notapor Estella » Mar Ene 16, 2007 12:37 pm

Dentro de los 10 casos de apolobios conocidos, me gustaría saber de qué forma resolveis los casos de C, es decir dentro de las convinaciones de P(punto) R(recta) y C(circunferencia), me interesan los siguientes casos de convinaciones de C:

1) CCC
2) CCP
3) CCR
4) CPR

Mi pregunta es:
¿Se resuelve por inversión?
¿Se resuelve por homología?

Por favor, quisiera un ejemplo de ambos casos para poder comparar con mis procedimientos.

¿Cómo se resolverían estos 4 casos?
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Notapor apolonio » Mar Ene 16, 2007 1:42 pm

Los casos que no tienen P siempre pueden transformarse por dilatación a otro caso diferente, y así es como suele hacerse. Tendríamos entonces las transformaciones:

CCC --> CCP
CCR --> CPR

Para reducir el caso CCC a CCP restamos o sumamos el radio de la circunferencia de menor radio a las otras dos circunferencias. Consideramos entonces las dos circunferencias dilatadas y el centro de la circunferencia de menor radio y resolvemos este CCP. Los centros de las circunferencias solución del caso CCP serán también centros de las circunferencias solución del caso CCC del sistema inicial. Como podemos optar por sumar o restar el radio menor a las otras circunferencias tenemos en total 4 dilataciones posibles (suma-suma, suma-resta, resta-suma, y resta-resta). Cada caso CCP tiene en general 2 soluciones posibles, lo que nos lleva a que el caso CCC puede tener hasta 8 soluciones. Pueden pedirnos explicitamente que la circunferencia tangente solución sea tangente exterior o interior a las otras circunferencias, en cuyo caso habrá que elegir adecuadamente la dilatación que convenga para obtener esta solución.

De la misma forma, para reducir el caso CCR al caso CPR, se suma o resta el radio de la circunferencia menor a la otra circunferencia y se traza una paralela a la recta a una distancia de la misma igual al radio de la circunferencia menor (hay dos posibilidades para trazar la paralela: alejarla del centro de la circunferencia de radio menor o acercarla). Tomando el nuevo sistema CPR formado por la circunferencia dilatada, el centro de la circunferencia de radio menor y la recta paralela, los centros de las circunferencias tangentes a este sistema serán también centros de las circunferencias tangentes al sistema CCR inicial. De nuevo, puede haber hasta 8 soluciones.

Nos centramos pues en los casos CCP y CPR que son irreducibles por dilatación. Que yo conozca, hay dos estrategias para resolverlos, que se denominan habitualmente "por potencias" y "por inversión", aunque la verdad es que la potencia y la inversión están bastante relacionadas y para mí las dos estrategias son diferentes aplicaciones de la inversión.


Resolución por inversión

Tanto en el caso CCP como en el caso CPR se trata de considerar el punto P como centro de una inversión. Como la constante o potencia de inversión puede tomarse libremente, es conveniente (aunque no obligatorio) tomar una inversión tal que uno de los elementos sea doble (en el caso CCP podrá escogerse cualquiera de las dos circunferencias y en el caso CPR sólo la circunferencia puede ser doble, ya que la recta para ser doble debería pasar por el punto, lo cual no sucede en general).

Luego se traza el inverso del otro elemento, que siempre es una circunferencia (en el caso CCP el inverso de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por el centro de inversión, y en el caso CCR el inverso de la recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que sí pasa por el centro de inversión).

Los elementos inversos de las circunferencias tangentes solución, al pasar éstas por el centro de inversión serán rectas que no pasan por el centro de inversión. Por lo tanto, el problema transformado por inversión consistirá en trazar las rectas tangentes a dos circunferencias (la circunferencia doble y la circunferencia inversa de la otra circunferencia o de la recta). Estas tangentes son en total 4, dos exteriores y dos interiores.

Las circunferencias solución son los inversos de las 4 tangentes en la inversión considerada, si bien no es necesario deshacer la inversión para encontrarlas. Si tomamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes sobre la circunferencia doble, sus inversos se encuentran facilmente pues son la intersección de la recta que une el punto de tangencia y el centro de inversión con la circunferencia doble. Conocido el punto de tangencia de la circunferencia solución con la circunferencia doble, el centro de la circunferencia solución será la intersección de la recta que une el punto de tangencia con el centro de la circunferencia doble con la mediatriz del segmento cuyos extremos son el punto de tangencia y el centro de inversión.
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Notapor apolonio » Mar Ene 16, 2007 4:43 pm

Resolución por potencias

Se fundamenta también en el concepto de inversión. En esta ocasión en lugar de considerar el punto dado como centro de inversión, nos olvidamos de momento de él y consideramos la inversión que transforma una circunferencia en la otra (en el caso CCP) o la circunferencia en la recta (en el caso CPR). En el primer caso el centro de inversión es el centro de homotecia de ambas circunferencias, que se obtiene mediante la intersección de la recta que une los centros de las dos circunferencias con la recta que resulta de unir los extremos de dos radios paralelos en una y otra circunferencia. Si los radios paralelos tienen el mismo sentido, se obtiene el centro de homotecia positiva, que corresponde a una inversión positiva, mientras que si se toman radios con la misma dirección (paralelos) pero de sentidos opuestos se hallará el centro de homotecia negativa, que corresponde a una inversión negativa. En el segundo caso el centro de inversión estará situado sobre la circunferencia, en la intersección de ésta con la perpendicular a la recta que pasa por el centro de la circunferencia. La perpendicular corta a la circunferencia en dos puntos: el más alejado de la recta corresponde al centro de inversión positiva y el más próximo a la recta corresponde al centro de la inversión negativa.

Cualquier circunferencia tangente a las dos circunferencias dadas (caso CCP) o a la recta y circunferencia dadas (caso CPR) será doble en la inversión considerada, por ser tangente a dos elementos mutuamente inversos. Es más, los puntos de tangencia de esta circunferencia solución con las dos circunferencias (caso CCP) o con la circunferencia y la recta (caso CPR) serán inversos entre sí, estando pues alineados con el centro de inversión.

Dada la estrecha relación entre el concepto de inversión y el de potencia, también podemos afirmar que dadas dos circunferencias el centro de inversión de las mismas tiene la misma potencia respecto de cualquier circunferencia que sea tangente a ambas, o que dada una circunferencia y una recta el centro de inversión que transforma la recta en la circunferencia y viceversa tiene la misma potencia respecto de cualquier circunferencia que sea tangente simultáneamente a la circunferencia y a la recta. Vamos a aplicar, por lo tanto, estas propiedades para resolver los casos de tangencia "por potencias".

Una vez hallado el centro de inversión (positiva o negativa; cada centro de inversión hallado lleva a 2 soluciones diferentes; cuatro soluciones en total), habrá que buscar el inverso del punto dado, que estará en la intersección de la recta que une el punto dado y el centro de inversión con una circunferencia que pase por el punto dado y cualquier pareja de puntos inversos (una pareja de puntos inversos se obtiene trazando una recta cualquiera que pase por el centro de inversión y viendo donde corta a las circunferencias o a la circunferencia y la recta, según sea el caso. Puesto que las circunferencias solución son dobles según se ha dicho, habrán de pasar por el punto dado y por el inverso que se acaba de hallar.

Los centros de las circunferencias solución tendrán que estar situados sobre la mediatriz del segmento que tiene por extremos al punto dado y a su inverso. Por otra parte, el eje radical de las dos circunferencias solución será la recta que une al punto dado con su inverso (que pasa también por el centro de inversión). Se trata ahora de encontrar el centro radical de las dos circunferencias solución y de una de las circunferencias dadas, que se hallará facilmente dibujando una circunferencia auxiliar con centro en la mediatriz del segmento que tiene por extremos al punto dado y a su inverso (que compartirá por lo tanto eje radical con las circunferencias solución) que corte a una de las circunferencias dadas (el eje radical será entonces la recta que une los puntos de intersección de ambas circunferencias, y el centro radical estará en la intersección de esta recta con la recta que une el punto dado con su inverso).

Los puntos de tangencia de las tangentes trazadas desde el centro radical a una de las circunferencias dadas serán precisamente los puntos de tangencia de esta circunferencia con las dos circunferencias solución. La recta que une estos puntos de tangencia con el centro de la circunferencia en cuestión cortará a la mediatriz del segmento que tiene por extremos al punto dado y a su inverso en los centros de las circunferencias solución.
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