Mediatrices y circuncentro

Si trazamos las mediatrices de los tres lados de un triángulo, estas se cortarán en un mismo punto, que se denomina Circuncentro(Oc), y que resulta ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Mediatrices de los lados de un triángulo

Bisectrices, incentro y exicentro

Si trazamos las bisectrices de los tres ángulos internos de un triángulo, estas se cortarán en un mismo punto, que se denomina Incentro(Oi), y que resulta ser el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

Bisectrices de los ángulos de un triángulo

Si trazamos las bisectrices de los ángulos formados por un lado y la prolongación de los otros dos, ambas bisectrices se cortan en un punto, por el que también pasa la bisectriz del ángulo interno, opuesto al lado elegido, dicho punto se denomina Exicentro(Oe), y que resulta ser el centro de una circunferencia tangente exterior al triángulo. Según la pareja de lados del triángulo que se prolonguen, podremos obtener hasta tres Exicentros.

Bisectrices de los ángulos de un triángulo 1

Alturas, ortocentro y triángulo órtico

Las alturas de un triángulo, son las perpendiculares trazadas desde cada vértice al lado opuesto, o su prolongación.

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto, que se denomina Ortocentro(Oo). El triángulo resultante de unir las tres bases de las alturas (Ha,Hb,Hc), se denomina triángulo órtico, y el Ortocentro resulta ser el incentro de dicho triángulo órtico.

Alturas de un triángulo

Si por cada uno de los vértices de un triángulo, trazamos rectas paralelas al lado opuesto, dichas rectas determinan un triángulo, que se denomina triángulo circunscrito del dado, siendo ambos triángulos semejantes, y como vemos en la figura, el Ortocentro del triángulo dado es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo circunscrito.

triángulo circunscrito

Medianas y baricentro

Las medianas de un triángulo, son las rectas que unen cada vértice con el centro del lado opuesto.

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto, que se denomina Baricentro(Ob). El segmento de mediana que va desde cada vértice al Baricentro es 2/3 de la mediana, y en consecuencia, el segmento de mediana restante será 1/3 de la misma.

Medianas de un triángulo

Si por los pies de las medianas, trazamos rectas paralelas a las otras dos medianas, veremos cómo se dibuja un hexágono. Dicho hexágono está compuesto por seis triángulos, cuyos lados son 1/3 de cada mediana.

Medianas de un triángulo

Segmento y circunferencia de Euler o Feuerbach

En todo triángulo, el Ortocentro(Oo), el Baricentro(Ob) y el Circuncentro(Oc) están alineados, y el segmento que definen se denomina Segmento de Euler.

El centro del segmento de Euler, es el centro(Oe) de la Circunferencia de Euler. La Circunferencia de Euler tiene la propiedad de pasar por nueve puntos:

– Los 3 pies de las alturas
– Los 3 pies de las mediatrices de los lados
– Los 3 puntos medios de los segmentos A-Oo, B-Oo y C-Oo

Segmento y circunferencia de Euler o Feuerbach

Recta de Simpson

Las rectas de Simpson son las rectas que unen los pies de las perpendiculares, trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita a los tres lados del triángulo, o sus prolongaciones.

Recta de Simpson

Circunferencia de Taylor

La circunferencia de Taylor es la circunferencia que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas desde los pies de las alturas a los lados del triángulo. Y es una circunferencia de Tucker.

Circunferencia de Taylor

Triángulos de Napoleón

Dado un triángulo cualquiera ABC, si construimos los triángulos equiláteros exteriores, cuyas bases sean los lados de dicho triángulo, los centros de esos tres triángulos 1-2-3, serán los vértices del triángulo de Napoleón exterior.

Si sobre ese mismo triángulo construimos los triángulos equiláteros interiores, cuyas bases sean los lados de dicho triángulo, los centros de esos tres triángulos 1′-2′-3′, serán los vértices del triángulo de Napoleón interior.

Los dos triángulos de Napoleón son triángulos equiláteros, y se cumple que la diferencia entre sus áreas, es igual al área del triángulo base ABC.

Triángulos de Napoleón

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