Definición

La parábola es una curva abierta y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto denominado foco, y una recta denominada directriz, observando la figura, FP = PQ = r.

El eje de la parábola es la recta perpendicular a la directriz, que pasa por el foco F. La distancia FD, del foco a la directriz, se denomina parámetro de la parábola, el punto medio del segmento FD, es el punto V, que se denomina vértice de la parábola.Parabola 01 definicion

Propiedades y elementos

La parábola se puede considerar como una elipse, uno de cuyos vértices se encuentra en el infinito, así como el centro de la curva. Partiendo de esta consideración, comprobaremos que las propiedades enunciadas para la elipse, se cumplen igualmente en la parábola.

La circunferencia principal Cp, pasará por el vértice V de la curva, y dado que el centro de la curva se encuentra en el infinito, la circunferencia principal resulta ser la recta perpendicular al eje en el vértice V. La circunferencia principal, se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la parábola. También se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen el foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la parábola.

La única circunferencia focal Cf de la parábola, tendrá su centro en el infinito, y deberá pasar por el punto D, simétrico del foco respecto a la tangente el en vértice de la curva, resultando por tanto, una recta coincidente con la directriz de la parábola. La circunferencia focal, se define como el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco F, respecto a las tangentes (t) de la parábola.

Observando la figura, también podemos definir la parábola, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por el foco F, y son tangentes a la circunferencia focal.Parabola 02 elementos de la parabola

Trazado de la parábola mediante radios vectores

Teniendo en cuanta la definición de la parábola, buscaremos puntos equidistantes del foco F, y la directriz d. Para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje, 1, 2, 3, etc., por los que trazaremos paralelas a la directriz. Trazando arcos de circunferencia de centro en F, y radio las distancias D1, D2, D3, etc., determinaremos sobre las correspondientes paralelas anteriores, los puntos 1′, 2′, 3′, etc., puntos de la parábola buscada.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán dos puntos de la parábola, uno en cada rama de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la parábola, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.Parabola 03 construccion por radios vectores

Trazado de la parábola, por haces proyectivos

Comenzaremos obteniendo un punto P de la curva por radios vectores, y trazaremos el rectángulo APCV, y dividiremos los lados AP y PC en un mismo número de partes iguales.

Por las divisiones de AP, trazaremos paralelas al eje de la curva, y uniremos las divisiones de CP, con el vértice V de la curva. La intersección de estas rectas con las paralelas anteriores, determinarán puntos, como el P, pertenecientes a la parábola buscada. Esto se repetirá para la otra rama de la parábola.Parabola 04 construccion por haces proyectivos

Trazado de la parábola, por envolventes

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal, en este caso, la tangente a la curva en el vértice, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes a la parábola.

Para este trazado partiremos de puntos 1, 2, 3, etc, de la circunferencia principal. Uniremos dichos puntos con el foco F, y trazaremos por los puntos anteriores perpendiculares a los segmentosl F1, F2, F3, etc., obteniendo las rectas tangentes a la parábola. La curva se determinará mediante tangentes a dichas rectas.Parabola 05 construccion por envolventes

Trazado de la parábola, en base a la definición de la curva

Esta construcción se basa en la definición de la parábola, como el lugar geométrico de los centros de circunferencia que pasan por el foco F, y son tangentes a la circunferencia focal.

Comenzaremos trazando las rectas F1, F2, F3, etc., que unen el foco de la curva F, con puntos de la directriz d.

Seguidamente trazaremos las perpendiculares a los segmentos anteriores, en su punto de intersección con la circunferencia principal, en el caso del segmento F1, en el punto s. Esta perpendicular resulta ser la mediatriz del segmento F1, y tangente a la la curva.

Trazando por el punto 1, una paralela al eje de la curva, dicha paralela interceptará a la tangente anteriormente trazada en el punto T1, punto de la parábola.

Repitiendo con el resto de puntos, obtendremos los suficientes puntos de la curva para poder ser trazada.Parabola 06 construccion a partir de su definicion

Recta tangente y normal en un punto de la parábola

La tangente a la parábola en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores en dicho punto.

La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.Parabola 07 tangente y normal en un punto

Rectas tangentes a la parábola desde un punto exterior, por circunferencia focal

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal (directriz), como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la parábola.

Dado el punto P exterior a la parábola, comenzaremos trazando la circunferencia de centro en P, y radio PF, la cual corta a la focal (directriz), en los puntos F1 y F2. Dichos puntos son los simétricos del F respecto a las tangentes a la parábola desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos FF1 y FF2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán las tangentes a la parábola buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas por F1 y F2, rectas paralelas al eje de la curva, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Parabola 08 tangente desde un punto exterior

Rectas tangentes a la parábola desde un punto exterior, por circunferencia principal

Dado el punto P exterior a la parábola, comenzaremos trazando la circunferencia principal (tangente en el vértice), y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro PF. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.

Las rectas P1 y P2, serán las tangentes t1 y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, haremos 1F1=1F y 2F2=2F, y por F1 y F2, trazaremos rectas paralelas al eje de la curva, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.Parabola 09 tangente desde un punto exterior por circunferencia principal

Rectas tangentes a la parábola, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal

Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal (directriz), el punto F1.

La mediatriz del segmento FF1, será la tangente a la parábola t buscada.

Para determinar el punto de tangencia, trazaremos pro F1, la recta paralela al eje de la curva, que determinarán sobre la tangente t, el punto T1, punto de tangencia buscado.Parabola 10 tangentes paralelas a una direccion dada

Rectas tangentes a la parábola, paralelas a una dirección dada por circunferencia principal

Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal (tangente en el vértice), y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en el punto 1, perteneciente a la tangente buscada.

Solo restará trazar por 1 la recta t, paralela a la dirección dada, siendo esta la tangentes buscada.

Para determinar los puntos de tangencia, haremos 1F1=1F, y por F1 trazaremos una recta paralela al eje de la curva, que terminará sobre la tangente t el punto T1, punto de tangencia buscado.Parabola 11 tangentes paralelas a una direccion dada por circunferencia principal

Puntos de intersección de una recta con una parábola

Esta construcción se basa en la definición de la parábola, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por el foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco (directriz).

Comenzaremos trazando una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro O. Sobre dicha circunferencia determinaremos el punto F1, simétrico del foco F, respecto a la recta r.

Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por F1 y F, sean tangentes a la circunferencia focal (directriz). Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a una recta dada (directriz), Lo que resolveremos por potencia.

Prolongando la recta FF1, determinaremos sobre la directriz el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por F y F1.

Con centro en pm, punto medio del segmento FCr, trazaremos la circunferencia de diámetro FCr, y por F1 la perpendicular a dicho diámetro, determinando sobre la circunferencia anterior el punto 1.

Con centro en Cr trazaremos el arco de circunferencia de radio Cr1, que nos determinará sobre la directriz, los puntos T1 y T2. Las perpendiculares a la directriz en dichos puntos, determinarán sobre la recta r los puntos I1 e I2, de intersección de la recta con la parábola.Parabola 12 puntos de interseccion con una recta

Construcción de la parábola por arcos de circunferencia. Radios de curvatura.

Para determinar el centro de curvatura en un punto P de la parábola, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.

La normal trazada, cortará al eje en el punto 1. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinará sobre la recta trazada por P y paralela al eje, el punto 2. Por dicho punto trazaremos la perpendicular al eje, que interceptará a la normal en el punto Cp, centro de curvatura buscado.

El centro de curva en el vértice de la curva Cv, lo determinaremos haciendo FCParabola 13 construccion por arcos de circunferencia

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